从 $1,2,3,\cdots,2050$ 这 $2050$ 个数中任取 $2018$ 个组成集合 $A$，把 $A$ 中的每个数染上红色或蓝色．求证：总存在一种染色方法，使得有 $600$ 个红数及 $600$ 个蓝数满足下列两个条件：
① 这个 $600$ 红数的和等于这 $600$ 个蓝数的和；
② 这个 $600$ 红数的平方和等于这 $600$ 个蓝数的平方和．
① 这个 $600$ 红数的和等于这 $600$ 个蓝数的和；
② 这个 $600$ 红数的平方和等于这 $600$ 个蓝数的平方和．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛试题）
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
注意到 $1+4+6+7=2+3+5+8=18$，且 $1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2=102$．则 $(8k+1)+(8k+4)+(8k+6)+(8k+7)=(8k+2)+(8k+3)+(8k+5)+(8k+8)$，且 $(8k+1)^2+(8k+4)^2+(8k+6)^2+(8k+7)^2=(8k+2)^2+(8k+3)^2+(8k+5)^2+(8k+8)^2$．把 $A$ 中的 $8k+1,8k+4,8k+6,8k+7$ 型数染成红色，$8k+2,8k+3,8k+5,8k+8$ 型数染成蓝色．因为 $2050=8\times 256+2$，所以 $k=0,1,2,\cdots,256$．构造 $257$ 个抽屉，第 $k+1$ 个抽屉放置形如" $8k+1,8k+2,8k+3,8k+4,8k+5,8k+6,8k+7,8k+8$ "的数，$k=0,1,2,\cdots,255$．第 $257$ 个抽屉放置 $A$ 中大于 $2048$ 的数（最多 $2$ 个数）．$2050$ 个数中任取 $2018$ 个数按要求放入抽屉，至少填满 $224$ 个抽屉（放入了 $8$ 个数），$224$ 个填满数的抽屉每个抽屉都是 $4$ 个红数和 $4$ 个蓝数，其和相等且平方和相等．取 $224$ 个抽屉中的 $150$ 个，$4\times 150=600$，共 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，也有和相等，且平方和相等．即存在 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，这 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数的和相等，且平方和相等．
证法二
注意到 $4+5=1+2+6=9$，且 $4^2+5^2=1^2+2^2+6^2=41$．则 $7k+(7k+4)+(7k+5)=(7k+1)+(7k+2)+(7k+6)$，且 $(7k)^2+(7k+4)^2+(7k+5)^2=(7k+1)^2+(7k+2)^2+(7k+6)^2$．把 $A$ 中的 $7k,7k+3,7k+4,7k+5$ 型数染成红色，$7k+1,7k+2,7k+6$ 型数染成蓝色．因为 $2050=7\times 292+6$，所以 $k=0,1,2,\cdots,292$．构造 $293$ 个抽屉，$k=0$ 时，抽屉放置集合 $A$ 中不超过 $6$ 的数，其余的第 $k+1$ 个抽屉放置形如 $7k,7k+1,7k+2,7k+3,7k+4,7k+5,7k+6$ 型数，$k=1,2,\cdots,292$．$2050$ 个数中任取 $2018$ 个数按要求放入抽屉，至少填满 $260$ 个抽屉（放入了 $7$ 个数），$260$ 个填满数的抽屉中每个抽屉都是 $4$ 个红数和 $3$ 个蓝数，取 $7k,7k+4,7k+5$ 型 $3$ 个红数和 $3$ 个蓝数，其和相等且平方和相等．
取 $260$ 个抽屉中的 $200$ 个，$3\times 200=600$，共 $600$，共 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，也有和相等，且平方和相等．即存在 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，这 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数的和相等，且平方和相等．
注意到 $1+4+6+7=2+3+5+8=18$，且 $1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2=102$．则 $(8k+1)+(8k+4)+(8k+6)+(8k+7)=(8k+2)+(8k+3)+(8k+5)+(8k+8)$，且 $(8k+1)^2+(8k+4)^2+(8k+6)^2+(8k+7)^2=(8k+2)^2+(8k+3)^2+(8k+5)^2+(8k+8)^2$．把 $A$ 中的 $8k+1,8k+4,8k+6,8k+7$ 型数染成红色，$8k+2,8k+3,8k+5,8k+8$ 型数染成蓝色．因为 $2050=8\times 256+2$，所以 $k=0,1,2,\cdots,256$．构造 $257$ 个抽屉，第 $k+1$ 个抽屉放置形如" $8k+1,8k+2,8k+3,8k+4,8k+5,8k+6,8k+7,8k+8$ "的数，$k=0,1,2,\cdots,255$．第 $257$ 个抽屉放置 $A$ 中大于 $2048$ 的数（最多 $2$ 个数）．$2050$ 个数中任取 $2018$ 个数按要求放入抽屉，至少填满 $224$ 个抽屉（放入了 $8$ 个数），$224$ 个填满数的抽屉每个抽屉都是 $4$ 个红数和 $4$ 个蓝数，其和相等且平方和相等．取 $224$ 个抽屉中的 $150$ 个，$4\times 150=600$，共 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，也有和相等，且平方和相等．即存在 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，这 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数的和相等，且平方和相等．
证法二
注意到 $4+5=1+2+6=9$，且 $4^2+5^2=1^2+2^2+6^2=41$．则 $7k+(7k+4)+(7k+5)=(7k+1)+(7k+2)+(7k+6)$，且 $(7k)^2+(7k+4)^2+(7k+5)^2=(7k+1)^2+(7k+2)^2+(7k+6)^2$．把 $A$ 中的 $7k,7k+3,7k+4,7k+5$ 型数染成红色，$7k+1,7k+2,7k+6$ 型数染成蓝色．因为 $2050=7\times 292+6$，所以 $k=0,1,2,\cdots,292$．构造 $293$ 个抽屉，$k=0$ 时，抽屉放置集合 $A$ 中不超过 $6$ 的数，其余的第 $k+1$ 个抽屉放置形如 $7k,7k+1,7k+2,7k+3,7k+4,7k+5,7k+6$ 型数，$k=1,2,\cdots,292$．$2050$ 个数中任取 $2018$ 个数按要求放入抽屉，至少填满 $260$ 个抽屉（放入了 $7$ 个数），$260$ 个填满数的抽屉中每个抽屉都是 $4$ 个红数和 $3$ 个蓝数，取 $7k,7k+4,7k+5$ 型 $3$ 个红数和 $3$ 个蓝数，其和相等且平方和相等．
取 $260$ 个抽屉中的 $200$ 个，$3\times 200=600$，共 $600$，共 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，也有和相等，且平方和相等．即存在 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数，这 $600$ 个红数与 $600$ 个蓝数的和相等，且平方和相等．
答案
解析
备注
