题目 过直线 $l:x-2y-20=0$ 上的点 $P$，作椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的切线 $PM,PN$，切点分别为 $M,N$，连结 $MN$． 问题1 当点 $P$ 在直线 $l$ 上运动时，证明直线 $MN$ 恒过一定点 $Q$，并求出点 $Q$ 的坐标； 答案1 $Q(\dfrac{4}{5},-\dfrac{9}{10})$ 解析1 设 $P(x_0,y_0),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则椭圆过点 $M,N$ 的切线方程分别为 $\dfrac{x_1x}{16}+\dfrac{y_1y}{9}=1,\dfrac{x_2x}{16}+\dfrac{y_2y}{9}=1$．因为两切线都过点 $P$，则有 $\dfrac{x_1x_0}{16}+\dfrac{y_1y_0}{9}=1,\dfrac{x_2x_0}{16}+\dfrac{y_2y_0}{9}=1$．这表明 $M,N$ 均在直线 $\dfrac{x_0x}{16}+\dfrac{y_0y}{9}=1$ ① 上．<br/>由两点决定一条直线知，① 式就是直线 $MN$ 的方程，且 $(x_0,y_0)$ 满足直线 $l$ 的方程．<br/>当点 $P$ 在直线 $l$ 上运动时，$y_0=\dfrac{1}{2}x_0-10$．代入 ① 式消去 $y_0$ 得<br/>$\dfrac{x_0}{16}x+\dfrac{x_0-20}{18}y-1=0$，②<br/>对一切 $x_0\in\mathbf R$ 恒成立．<br/>变形可得 $x_0(\dfrac{x}{16}+\dfrac{y}{18})-(\dfrac{10y}{9}+1)=0$，对一切 $x_0\in\mathbf R$ 恒成立，故有 $\begin{cases}<br/>\dfrac{x}{16}+\dfrac{y}{18}=0\\<br/>\dfrac{10y}{9}+1=0\\<br/>\end{cases}$ \<br/>所以直线 $MN$ 恒过一定点 $Q(\dfrac{4}{5},-\dfrac{9}{10})$． 备注1 问题2 当 $MN\parallel l$ 时，求证定点 $Q$ 平分线段 $MN$． 答案2 略 解析2 当 $MN\parallel l$ 时，由式 ② 式知 $\dfrac{\dfrac{x_0}{16}}{1}=\dfrac{\dfrac{x_0-20}{18}}{-2}\ne\dfrac{-1}{-20}$，解得 $x_0=\dfrac{80}{13}$．<br/>代入 ② 式，得此时 $MN$ 的方程为 $5x-10y-13=0$．③<br/>将 ③ 式与椭圆方程联立 $\begin{cases}<br/>\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\\<br/>5x-10y-13=0\\<br/>\end{cases}$ 消去 $y$ 得 $13x^2-\dfrac{104}{5}x+\dfrac{2924}{25}=0$，<br/>从而 $x_1+x_2=-\dfrac{-\dfrac{104}{5}}{13}=\dfrac{8}{5}$，$MN$ 的中点横坐标恰好是 $\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{4}{5}$，代入 ③ 式可得弦中点纵坐标恰好为 $Q$ 点的纵坐标 $-\dfrac{9}{10}$．即点 $Q(\dfrac{4}{5},-\dfrac{9}{10})$ 平分线段 $MN$． 备注2