已知定义在 $\mathbf R^{\ast}$ 上的函数 $f(x)$ 为 $f(x)=\begin{cases}
|\log_3x-1|,0<x\leqslant 9\\
4-\sqrt{x},x>9\\
\end{cases}$ 设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $abc$ 的取值范围．
|\log_3x-1|,0<x\leqslant 9\\
4-\sqrt{x},x>9\\
\end{cases}$ 设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $abc$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（B卷一试试题）
【标注】
【答案】
$(81,144)$
【解析】
不妨假设 $a<b<c$，由于 $f(x)$ 在 $(0,3]$ 上严格递减，在 $[3,9]$ 上严格递增，在 $[9,+\infty)$ 上严格递减，且 $f(3)=0,f(9)=1$，故结合图像可知 $a\in(0,3),b\in(3,9),c\in(9,+\infty)$，并且 $f(a)=f(b)=f(c)\in(0,1)$．由 $f(a)=f(b)$ 得 $1-\log_3a=\log_3b-1$，取 $\log_3a+\log_3b=2$，因此 $ab=3^2=9$．于是 $abc=9c$．又 $0<f(c)=4-\sqrt{c}<1$，故 $c\in(9,16)$．进而 $abc=9c\in(81,144)$．
答案
解析
备注
