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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19958 5ce4edb0210b28021fc765eb 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 为锐角三角形，$AB<AC$，$M$ 为 $BC$ 边的中点，点 $D$ 和 $E$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\overparen{BAC}$ 和 $\overparen{BC}$ 的中点，$F$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆在 $AB$ 边上的切点，$G$ 为 $AE$ 与 $BC$ 的交点，$N$ 在线段 $EF$ 上，满足 $NB\bot AB$．
证明：若 $BN=EM$，则 $DF\bot FG$．（答题时请将图画在答卷纸上）		 2022-04-17 19:16:55
19957 5ce4f1cb210b280220ed32ea 高中 解答题 自招竞赛 设 $n,k,m$ 是正整数，满足 $k\geqslant 2$，且 $n\leqslant m<\dfrac{2k-1}{k}n$．设 $A$ 是 $\{1,2,\cdots,m\}$ 的 $n$ 元子集．
证明：区间 $(0,\dfrac{n}{k-1})$ 中每个整数均可表示为 $a-a^\prime$，其中 $a,a^\prime\in A$．		 2022-04-17 19:16:55
19956 5ce4f293210b280220ed32ef 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_1$ 是任意正整数，对整数 $n\geqslant 1$，$a_{n+1}$ 是与 $\displaystyle\sum_{i=1}^na_i$ 互素，且不等于 $a_1,\cdots,a_n$ 的最小整数．
证明：每个正整数均在数列 $\{a_n\}$ 中出现．		 2022-04-17 19:15:55
19955 5ce63863210b28021fc76687 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 是实数，函数 $f(x)=ax+b+\dfrac{9}{x}$．证明：存在 $x_0\in[1,9]$，使得 $|f(x_0)|\geqslant 2$． 2022-04-17 19:15:55
19954 5ce63929210b28021fc7668d 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，边 $AC$ 上一点 $D$ 及 $BC$ 延长线上一点 $E$ 满足 $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BC}{2CE}$，以 $AB$ 为直径的圆 $w$ 与线段 $DE$ 交于一点 $F$．证明：$B,C,F,D$ 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上） 2022-04-17 19:14:55
19953 5ce63ab1210b280220ed3399 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A=\{1,2,\cdots,n\}$，$X,Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X=Y$）．$X$ 中的最大元与 $Y$ 中的最小元分别记为 $\max X,\min Y$．求满足 $\max X>\min Y$ 的有序集合对 $(X,Y)$ 的数目． 2022-04-17 19:13:55
19952 5ce63b21210b28021fc76694 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $a\geqslant 2$．证明：对任意正整数 $n$，存在正整数 $k$，使得连续 $n$ 个数 $a^k+1,a^k+2,\cdots,a^k+n$ 均是合数． 2022-04-17 19:13:55
19951 5ced0553210b28021fc769b2 高中 解答题 高中习题 若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y=x^3$ 和 $y=ax^2+\dfrac{15}{4}x-9$ 都相切，求实数 $a$ 的值． 2022-04-17 19:13:55
19950 5ced05b1210b280220ed3813 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^3+\dfrac{1}{2}mx^2-2m^2x-4$（$m$ 为常数且 $m>0$）有极大值 $-\dfrac{5}{2}$． 2022-04-17 19:12:55
19949 5ced0a36210b28021fc769bd 高中 解答题 高中习题 设 $b>0$，椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{2b^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，抛物线方程为 $x^2=8(y-b)$，如图所示．过 $F(0.b+2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$．已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$ 2022-04-17 19:11:55
19948 5ced0ac3210b28021fc769c2 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln^2(1+x)-\dfrac{x^2}{1+x}$． 2022-04-17 19:10:55
19947 5ced0b1e210b28021fc769c9 高中 解答题 高中习题 对任意的 $n\in{{\rm{N}}}^{\ast}$，设 $a_n$ 是方程 $x^3+\dfrac{x}{n}=1$ 的实数根，求证：$a_{n+1}>a_n$． 2022-04-17 19:10:55
19946 5ced0b94210b280220ed3823 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln(x+1)+\dfrac{2}{x+1}+ax-2$（其中 $a>0$）． 2022-04-17 19:09:55
19945 5ced0826210b28021fc769b7 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^2+\dfrac{a}{x}(x\ne0,a\in{\rm{R}})$ 有极大值为 $-\dfrac{5}{2}$． 2022-04-17 19:08:55
19944 5ced0cd1210b280220ed3829 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=\dfrac{1+a^x}{1-a^x}$（$a>0$ 且 $a\ne1$），$g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数． 2022-04-17 19:08:55
19943 5cee29b8210b28021fc76a3e 高中 解答题 高中习题 复数 $z=\dfrac{m^2-m-6}{m+3}+(m^2-2m15){\rm{i}}$，求实数 $m$ 分别使得（1）$z$ 是实数；（2）$z$ 是纯虚数；（3）$z$ 所对应的点在复平面的第二象限；（4）$z$ 是复数． 2022-04-17 19:07:55
19942 5cee2a40210b280220ed38cb 高中 解答题 高中习题 设 $n\le1999$，$n\in{\rm{N}}$，且存在 $\theta$ 满足$$(\sin{\theta}+{\rm{i}}\cos{\theta})^n=\sin{n\theta}+{\rm{i}}\cos{n\theta},$$那么这样的 $n$ 的总个数是多少？ 2022-04-17 19:06:55
19941 5cee2aa0210b28021fc76a45 高中 解答题 高中习题 $[(2a-b-c)+(b-c)\sqrt{3}{\rm{i}}]^3=[(2b-c-a)+(c-a)\sqrt{3}{\rm{i}}]^3$ 2022-04-17 19:06:55
19940 5cee2ae1210b280220ed38d4 高中 解答题 高中习题 已知复数 $z_1,z_2$ 满足如下条件：$$|z_1|=2,|z_2|=3,3z_1-2z_2=2-{\rm{i}}.$$求 $z_1z_2$ 的值． 2022-04-17 19:06:55
19939 5cee2b20210b28021fc76a4c 高中 解答题 高中习题 已知复变量满足 $11z^{10}+10{\rm{i}}z^{9}+10{\rm{i}}z-11=0$，求证：$|z|=1$． 2022-04-17 19:05:55
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