如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=4$，过点 $P(0,1)$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 交于点 $A,B$，与 $x$ 轴交于点 $Q$．设 $\overrightarrow{QA}=\lambda\overrightarrow{PA},\overrightarrow{OB}=\mu\overrightarrow{PB}$，求证：$\lambda+\mu$ 为定值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛试题）
【标注】
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【解析】
当 $AB$ 与 $x$ 轴垂直时，此时点 $Q$ 与点 $O$ 重合从而 $\lambda =2,\mu =\dfrac{2}{3},\lambda+\mu=\dfrac{8}{3}$．当点 $Q$ 与点 $O$ 不重合时，直线 $AB$ 的斜率存在．设 $AB:y=kx+1,A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $Q(-\dfrac{1}{k},0)$．由题设得：$x_1+\dfrac{1}{k}=\lambda x_1,x_2+\dfrac{1}{k}=\mu x_2$，即 $\lambda + \mu=1+\dfrac{1}{kx_1}+1+\dfrac{1}{kx_2}=2+\dfrac{x_1+x_2}{kx_1x_2}$．将 $y=kx+1$ 代入 $x^2+y^2=4$，得 $(1+k^2)x^2+2kx-3=0$，则 $\Delta>0,x_1+x_2=\dfrac{-2k}{1+k^2},x_1x_2=\dfrac{-3}{1+k^2}$．所以 $\lambda +\mu =2+\dfrac{-2k}{-3k}=\dfrac{8}{3}$．
综上，$\lambda+\mu$ 为定值 $\dfrac{8}{3}.$
综上，$\lambda+\mu$ 为定值 $\dfrac{8}{3}.$
答案
解析
备注
