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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19918 5cef41fa210b28021fc76ad4 高中 解答题 自招竞赛 在一个面积为 $1$ 的正三角形内部，任意放五个点．试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过 $0.64$． 2022-04-17 19:50:54
19917 5cef644b210b280220ed39e0 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 是一个四面体，$S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 分别是以 $A_1,A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 为球心的球，它们两两相切．如果存在一点 $Q$，以这点为球心可作一个半径为 $r$ 的球与 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 都想切，还可以作一个半径为 $R$ 的球与四面体的各棱都相切．求证：这个四面体是正四面体． 2022-04-17 19:49:54
19916 5cef80f4210b28021fc76b39 高中 解答题 高中习题 设复平面上的点 $A,B,C$ 对应的复数分别为 $z_1,z_2,z_3$，已知 $|z_1|=1$，$z_2=z_1\cdot{z}$，$z_3=z_2\cdot{z}$，其中 $z=\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}{\rm{i}})$，求四边形 $OABC$ 的面积． 2022-04-17 19:48:54
19915 5cef6f6b210b280220ed39f3 高中 解答题 自招竞赛 $m$ 个互不相同的正偶数与 $n$ 个互不相同的正奇数的总和为 $1987$，对于所有这样的 $m$ 与 $n$，问 $3m+4n$ 的最大值是多少？请证明你的结论． 2022-04-17 19:48:54
19914 5cef81a8210b280220ed3a41 高中 解答题 高中习题 已知复数 $z$ 满足 $\arg(z+3)=\dfrac{3}{4}\pi$，问 $z$ 取何值时，$u=\dfrac{1}{|z+6|+|z-3{\rm{i}}|}$ 取得最大值？并求出这个最大值． 2022-04-17 19:48:54
19913 5cef8227210b280220ed3a47 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A=\{z|z-c|+|z+c|=2a,z\in\mathbb{C},a>c>0\}$．若当 $a.c$ 取遍所有正实数时，恒有 $2+{\rm{i}}\in{A}$．试在复平面内作出集合 $A$ 表示的图形． 2022-04-17 19:48:54
19912 5cef8281210b28021fc76b41 高中 解答题 高中习题 设复数 $z$ 满足 $\left|\arg\left(\dfrac{z+1}{z+2}\right)\right|=\dfrac{\pi}{6}$，求 $\arg{z}$ 的取值范围． 2022-04-17 19:47:54
19911 5cef833e210b28021fc76b48 高中 解答题 高中习题 已知复数 $z_1=1+\cos\alpha+{\rm{i}}\sin\alpha$，$z^{\prime}=\cos\beta+{\rm{i}}\sin\beta$ $(\pi<\beta<2\pi)$，且 $\arg{z_1}+\arg{z_2}=\dfrac{13}{6}\pi$，求 $\sin\dfrac{\alpha-\beta}{4}$． 2022-04-17 19:47:54
19910 5cef83be210b280220ed3a50 高中 解答题 高中习题 已知复平面上 $A,B$ 两点对应的复数分别为 $1$ 和 ${\rm{i}}$，设线段 $AB$ 上的动点多对应的复数为 $z$，求复数 $z^2$ 在复平面上所对应的点的轨迹． 2022-04-17 19:46:54
19909 5cef844d210b28021fc76b50 高中 解答题 高中习题 已知复数 $z=t+3+\sqrt{3}{\rm{i}}$，其中 $t$ 是使得 $\dfrac{t+3}{t-3}$ 为纯虚数的复数．（1）求 $z$ 在复平面上对应点 $P$ 的轨迹方程；（2）求 $\arg{z}$ 的范围；（3）求 $|z-1|^2+|z+1|^2$ 的最小值及取得最小值时的复数． 2022-04-17 19:46:54
19908 5cef84b3210b28021fc76b58 高中 解答题 高中习题 在复平面上，$A$ 点对应的复数 $-2$，动点 $B$ 在以原点为圆心，$1$ 为半径的圆上运动，以 $AB$ 为边在正 $\triangle{ABC}$（$A,B,C$ 按逆时针方向排列），求动点 $C$ 的轨迹． 2022-04-17 19:45:54
19907 5cef8a2f210b280220ed3a83 高中 解答题 高中习题 复数 $z_1$ 满足 $|z_1-8{\rm{i}}|=2$，$z_2$ 满足 $|z_2|=4$，令 $\omega=z_1-z_2$，求复数 $\omega$ 在复平面内对应的点集 $M$ 所组成的图形的面积． 2022-04-17 19:45:54
19906 5cef8ade210b280220ed3a89 高中 解答题 高中习题 $\triangle{ABC}$ 是顶点依顺时针方向排列的等腰直角三角形，其中 $A$ 为定点，$B$ 为定圆上的一动点，$C$ 为直角顶点，求点 $C$ 的轨迹． 2022-04-17 19:44:54
19905 5cef8bc7210b280220ed3a91 高中 解答题 高中习题 已知两个复数集合 $A=\{z||z-2|\le2\}$，$B=\{z|z=\dfrac{{\rm{i}z_1}}{2}+b,z_2\in{A},b\in\mathbb{R}\}$． 2022-04-17 19:44:54
19904 5cef8c7c210b280220ed3a9a 高中 解答题 高中习题 复数 $z_1,z_2,z_3$ 的辐角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，又 $|z_1|=1$，$|z_2|=k$，$|z_3|=2-k$，且 $z_1+z_2+z_3=0$，问 $k$ 各取何值时，$\cos(\beta-\gamma)$ 分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值． 2022-04-17 19:44:54
19903 5cef8d44210b280220ed3aa0 高中 解答题 高中习题 设 $a,b$ 是实数，$x^2+2ax+b=0$ 的两个虚根是 $Z_1,Z_2$，复平面上以 $Z_1,Z_2$ 为直径端点的圆把坐标原点包含在圆的内部，求复数 $z=a+b{\rm{i}}$ 的存在范围，并画图表示． 2022-04-17 19:43:54
19902 5cef8e38210b280220ed3aa8 高中 解答题 高中习题 设 $O$ 为复平面的原点，，$Z_1$ 和 $Z_2$ 为复平面内的两个动点，且满足：（1）$Z_1$，$Z_2$ 点对应的复数的辐角分别是定值 $\theta$ 和 $-\theta$ $(0<\theta<\dfrac{\pi}{2})$；（2）$\triangle{OZ_1Z_2}$ 的面积为定值 $S$，求 $\triangle{OZ_1Z_2}$ 的重心 $Z$ 的轨迹方程及 $Z$ 点所对应的复数模的最小值． 2022-04-17 19:43:54
19901 5cef9045210b280220ed3ab4 高中 解答题 高中习题 设非零复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足 $\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{a_3}{a_2}+\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_5}{a_4}$，$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{1}{a_4}+\dfrac{1}{a_5}\right)=S$，其中 $S$ 是实数，且 $|S|\le2$，求证复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 在复平面上所对应的点位于同一圆周上． 2022-04-17 19:42:54
19900 5cf08fc9210b280220ed3b0c 高中 解答题 高中习题 设 $M=\{a|a=x^2-y^2,x\in\mathbb{Z},y\in\mathbb{Z}\}$，求证： 2022-04-17 19:42:54
19899 5cf094b3210b28021fc76bbe 高中 解答题 高中习题 求集合 $M=\{1,2,3\cdots,100\}$ 的所有非空子集的元素之和． 2022-04-17 19:41:54
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