题目 已知实数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ 满足：对任意正整数 $n$，有 $a_n(2S_n-a_n)=1$，其中 $S_n$ 表示数列的前 $n$ 项和．证明： 问题1 对任意正整数 $n$，有 $a_n<2\sqrt{n}$； 答案1 略 解析1 约定 $S_0=0$．由条件知，对任意正整数 $n$，有 $1=a_n(2S_n-a_n)=(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1})=S_n^2-S^2_{n-1}$，从而 $S_n^2=n+S_0^2=n$，即 $S_n=\pm\sqrt{n}$（当 $n=0$ 时亦成立）．显然，$a_n=S_n-S_{n-1}\leqslant \sqrt{n}-\sqrt{n-1}<2\sqrt{n}$． 备注1 问题2 对任意正整数 $n$，有 $a_na_{n+1}<1$． 答案2 略 解析2 仅需考虑 $a_n,a_{n+1}$ 同号的情况．不失一般性，可设 $a_n,a_{n+1}$ 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 $S_{n+1}>S_n>S_{n-1}>-\sqrt{n}$，故必有 $S_n=\sqrt{n},S_{n+1}=\sqrt{n+1}$，此时 $a_n=\sqrt{n}\pm\sqrt{n-1},a_{n+1}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，从而 ${{a}_{n}}{{a}_{n+1}}<\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1} \right)\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)<\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)=1$ 。 备注2