设 $a,b\in R$ 且 $3^a+11^b=16^a,6^a+8^b=13^b$，求证：$a<b$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $a\geqslant b$，则 $3^a+11^a\geqslant 3^a+11^b=16^a$，即 $(\dfrac{3}{16})^a+(\dfrac{11}{16})^a\geqslant 1>\dfrac{3}{16}+\dfrac{11}{16}$．同理
$6^b+8^b\leqslant 6^a+8^b=13^b,(\dfrac{6}{13})^b+(\dfrac{8}{13})^b\leqslant 1<\dfrac{6}{13}+\dfrac{8}{13}$．
令 $f(x)=(\dfrac{3}{16})^x+(\dfrac{11}{16})^x$，则函数 $f(x)$ 在 $\mathbf R$ 上单调递减．令 $g(x)=(\dfrac{6}{16})^x+(\dfrac{8}{16})^x$，则函数 $g(x)$ 在 $\mathbf R$ 上单调递减．则有 $f(a)>f(1),g(b)<g(1)$，所以 $a<1$，且 $b>1$．
这与 $a\geqslant b$ 矛盾，所以假设不成立，原命题正确，即 $a<b$．
$6^b+8^b\leqslant 6^a+8^b=13^b,(\dfrac{6}{13})^b+(\dfrac{8}{13})^b\leqslant 1<\dfrac{6}{13}+\dfrac{8}{13}$．
令 $f(x)=(\dfrac{3}{16})^x+(\dfrac{11}{16})^x$，则函数 $f(x)$ 在 $\mathbf R$ 上单调递减．令 $g(x)=(\dfrac{6}{16})^x+(\dfrac{8}{16})^x$，则函数 $g(x)$ 在 $\mathbf R$ 上单调递减．则有 $f(a)>f(1),g(b)<g(1)$，所以 $a<1$，且 $b>1$．
这与 $a\geqslant b$ 矛盾，所以假设不成立，原命题正确，即 $a<b$．
答案
解析
备注
