已知函数 $f_1(x)=\sqrt{x^2+48}$，当 $n\in\mathbf N^{\ast},n\geqslant 2$ 时，$f_n(x)=\sqrt{x^2+6f_{n-1}(x)}$．求方程 $f_n(x)=2x$ 的实数解．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛一试）
【标注】
【答案】
$x=4$
【解析】
因为 $f_n(x)=\sqrt{x^2+6f_{n-1}(x)}>0$，所以方程 $f_n(x)=2x$ 的实数解必须是正数．
首先，证明 $x=4$ 是方程 $f_n(x)=2x$ 的解．下面用数学归纳法证明：
（1）当 $n=1$ 时，$f_1(x)=\sqrt{x^2+48}=2x$，两边同时平方得 $x^2=16$．又 $x>0$，所以 $x=4$．
所以当 $n=1$ 时，方程 $f_n(x)=2x$ 的解为 $x=4$．
（2）假设当 $n=k$ 时，$x=4$ 是方程 $f_k(x)=2x$ 的解，即 $f_k(4)=8$，则当 $n=k+1$ 时，$f_{n+1}(4)-2\times 4=\sqrt{4^2+6f_k(4)}-8=\sqrt{16+6\times 8}-8=0$，所以 $x=4$ 也是方程 $f_n(x)=2x$ 的解，对 $n\in\mathbf N^{\ast}$ 恒成立．其次，证明方程 $f_n(x)=2x$ 无其他解．
① 若 $x>4$，则 $8<\sqrt{x^2+48}<2x$，所以 $8<f_1(x)<2x$．假设 $8<f_k(x)<2x$，则 $8<\sqrt{x^2+48}<\sqrt{x^2+6f_k(x)}<
\sqrt{x^2+12x}<2x$．即 $8<f_{k+1}(x)<2x$．所以当 $x>4$ 时，有数学归纳法知 $8<f_{n}(x)<2x$，所以方程没有 $x>4$ 的实数解．
② 当 $0<x<4$ 时，同理可证：$2x<f_n(x)<8$．从而方程 $f_n(x)=2x$ 没有小于 $4$ 的解．所以方程 $f_n(x)=2x$ 有唯一解 $x=4$．
首先，证明 $x=4$ 是方程 $f_n(x)=2x$ 的解．下面用数学归纳法证明：
（1）当 $n=1$ 时，$f_1(x)=\sqrt{x^2+48}=2x$，两边同时平方得 $x^2=16$．又 $x>0$，所以 $x=4$．
所以当 $n=1$ 时，方程 $f_n(x)=2x$ 的解为 $x=4$．
（2）假设当 $n=k$ 时，$x=4$ 是方程 $f_k(x)=2x$ 的解，即 $f_k(4)=8$，则当 $n=k+1$ 时，$f_{n+1}(4)-2\times 4=\sqrt{4^2+6f_k(4)}-8=\sqrt{16+6\times 8}-8=0$，所以 $x=4$ 也是方程 $f_n(x)=2x$ 的解，对 $n\in\mathbf N^{\ast}$ 恒成立．其次，证明方程 $f_n(x)=2x$ 无其他解．
① 若 $x>4$，则 $8<\sqrt{x^2+48}<2x$，所以 $8<f_1(x)<2x$．假设 $8<f_k(x)<2x$，则 $8<\sqrt{x^2+48}<\sqrt{x^2+6f_k(x)}<
\sqrt{x^2+12x}<2x$．即 $8<f_{k+1}(x)<2x$．所以当 $x>4$ 时，有数学归纳法知 $8<f_{n}(x)<2x$，所以方程没有 $x>4$ 的实数解．
② 当 $0<x<4$ 时，同理可证：$2x<f_n(x)<8$．从而方程 $f_n(x)=2x$ 没有小于 $4$ 的解．所以方程 $f_n(x)=2x$ 有唯一解 $x=4$．
答案
解析
备注
