已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{3a_n-4}{9a_n+15}(n\in\mathbf N^{\ast})$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{49-22n}{33n-24}$
【解析】
其特征方程为 $x=\dfrac{3x-4}{9x+15}$，即 $(3x+2)^2=0$，解得 $x_1=x_2=-\dfrac{2}{3}$．令 $\dfrac{1}{a_{n+1}+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{a_n+\dfrac{2}{3}}+c$，由 $a_1=3,a_2=\dfrac{5}{42}$，求得 $c=1$．所以数列 $\{\dfrac{1}{a_n+\dfrac{2}{3}}\}$ 是以 $\dfrac{1}{a_1+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{11}$ 为首项，以1为公差的等差数列．所以 $\dfrac{1}{a_n+\dfrac{2}{3}}=n-\dfrac{8}{11}$，故 $a_n=\dfrac{49-22n}{33n-24}$．
答案
解析
备注
