设 $n$ 是正整数，$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$，$A,B$ 均为正实数，满足 $a_i\leqslant b_i,a_i\leqslant A,i=1,2,\cdots,n$，且 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant\dfrac{B}{A}$．
证明：$\dfrac{(b_1+1)(b_2+1)\cdots(b_n+1)}{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)}\leqslant\dfrac{B+1}{A+1}$．
证明：$\dfrac{(b_1+1)(b_2+1)\cdots(b_n+1)}{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)}\leqslant\dfrac{B+1}{A+1}$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（A卷加试试题）
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件知，$k_i=\dfrac{b_i}{a_i}\geqslant 1,i=1,2,\cdots,n$．记 $\dfrac{B}{A}=K$，则 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant \dfrac{B}{A}$ 化为 $k_1k_2\cdots k_n\leqslant K$．要证明
$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n\dfrac{k_ia_i+1}{a_i+1}\leqslant\dfrac{KA+1}{A+1}$．①
对 $i=1,2,\cdots,n$，由于 $k_i\geqslant 1$ 及 $0<a_i\leqslant A$ 知，$\dfrac{k_ia_i+1}{a_i+1}=k_i-\dfrac{k_i-1}{a_i+1}\leqslant k_i-\dfrac{k_i-1}{A+1}=\dfrac{k_iA+1}{A+1}$．
结合 $K\geqslant k_1k_2\cdots k_n$ 知，为证明 ①，仅需证明当 $A>0,k_i\geqslant 1(i=1,2,\cdots,n)$ 时，有
$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n\dfrac{k_iA+1}{A+1}\leqslant\dfrac{k_1k_2\cdots k_nA+1}{A+1}$．②
对 $n$ 进行归纳，当 $n=1$ 时，结论显然成立．
当 $n=2$ 时，由 $A>0,k_1,k_2\geqslant 1$ 可知 $\dfrac{{{k}_{1}}A+1}{A+1}\cdot\dfrac{{{k}_{2}}A+1}{A+1}-\dfrac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}A+1}{A+1}=-\dfrac{A\left({{k}_{1}}-1 \right)\left( {{k}_{2}}-1 \right)}{{{\left( A+1 \right)}^{2}}}\leqslant 0$ ③
因此 $n=2$ 时结论成立．
设 $n=m$ 时结论成立，则当 $n=m+1$ 时，利用归纳假设知，$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{m+1}{\dfrac{{{k}_{1}}A+1}{A+1}=\left(\prod\limits_{i=1}^{m}{\dfrac{{{k}_{i}}A+1}{A+1}} \right)}\cdot \dfrac{{{k}_{m+1}}A+1}{A+1}\leqslant\dfrac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m}}A+1}{A+1}\cdot \dfrac{{{k}_{m+1}}A+1}{A+1}\leqslant\dfrac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m+1}}A+1}{A+1}$，
最后一步是在 ③ 中用 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m}},k_{m+1}$（注意 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m}}\geqslant 1,k_{m+1}\geqslant 1$）分别代替 $k_1,k_2$．从而 $n=m+1$ 时结论成立．
由数学归纳法可知，② 对所有正整数 $n$ 成立，故命题得证．
$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n\dfrac{k_ia_i+1}{a_i+1}\leqslant\dfrac{KA+1}{A+1}$．①
对 $i=1,2,\cdots,n$，由于 $k_i\geqslant 1$ 及 $0<a_i\leqslant A$ 知，$\dfrac{k_ia_i+1}{a_i+1}=k_i-\dfrac{k_i-1}{a_i+1}\leqslant k_i-\dfrac{k_i-1}{A+1}=\dfrac{k_iA+1}{A+1}$．
结合 $K\geqslant k_1k_2\cdots k_n$ 知，为证明 ①，仅需证明当 $A>0,k_i\geqslant 1(i=1,2,\cdots,n)$ 时，有
$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n\dfrac{k_iA+1}{A+1}\leqslant\dfrac{k_1k_2\cdots k_nA+1}{A+1}$．②
对 $n$ 进行归纳，当 $n=1$ 时，结论显然成立．
当 $n=2$ 时，由 $A>0,k_1,k_2\geqslant 1$ 可知 $\dfrac{{{k}_{1}}A+1}{A+1}\cdot\dfrac{{{k}_{2}}A+1}{A+1}-\dfrac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}A+1}{A+1}=-\dfrac{A\left({{k}_{1}}-1 \right)\left( {{k}_{2}}-1 \right)}{{{\left( A+1 \right)}^{2}}}\leqslant 0$ ③
因此 $n=2$ 时结论成立．
设 $n=m$ 时结论成立，则当 $n=m+1$ 时，利用归纳假设知，$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{m+1}{\dfrac{{{k}_{1}}A+1}{A+1}=\left(\prod\limits_{i=1}^{m}{\dfrac{{{k}_{i}}A+1}{A+1}} \right)}\cdot \dfrac{{{k}_{m+1}}A+1}{A+1}\leqslant\dfrac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m}}A+1}{A+1}\cdot \dfrac{{{k}_{m+1}}A+1}{A+1}\leqslant\dfrac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m+1}}A+1}{A+1}$，
最后一步是在 ③ 中用 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m}},k_{m+1}$（注意 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}\cdots {{k}_{m}}\geqslant 1,k_{m+1}\geqslant 1$）分别代替 $k_1,k_2$．从而 $n=m+1$ 时结论成立．
由数学归纳法可知，② 对所有正整数 $n$ 成立，故命题得证．
答案
解析
备注
