设正整数 $1<a_1<a_2<\cdots<a_{1009}<2018$，其中对任意的 $i\ne j$，$a_i$ 与 $a_j$ 的最小公倍数均大于2018，证明：$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{1009}}<\dfrac{7}{6}$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛加试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证 $a_1\geqslant [\dfrac{2018}{3}]+1=673$．如果不然，则 $a_1\geqslant [\dfrac{2018}{3}]$，那么 $a_1\leqslant [\dfrac{2018}{3}]<\dfrac{2018}{3}$．因此 $2a_1<3a_1<2018$．从而 $2a_1,3a_1,a_2,\cdots,a_{1009}$ 均为 $1,2,\cdots,2018$ 中的数，所以一定有两个数为倍数关系，这与任意的 $i\ne j,[a_i,a_j]>2018$ 矛盾．所以 $a_1\geqslant 673$．下面对每个 $a_i$，构造集合 $A_i=\{b|1\leqslant b\leqslant 2018,且a_i|b\}=\{a_i,2a_i,3a_i,\cdots,[\dfrac{2018}{a_i}]a_i\}$，因此，我们有 $A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots\bigcup A_{1009}\subseteq\{673,674,\cdots,2018\}$．从而 $|A_1\bigcup A_2\bigcup\cdots\bigcup A_{1009}|\leqslant 2018-672=1346$．另一方面，由于任意的 $i\ne j,[a_i,a_j]>2018$，从而 $A_i\bigcap A_j=\varnothing$．因此 $|A_1\bigcup A_2\bigcup\cdots\bigcup A_{1009}|=\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}|A_i|=\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}[\dfrac{2018}{a_i}]\leqslant 1346$．因为 $[\dfrac{2018}{a_i}]\leqslant \dfrac{2018}{a_i}-\dfrac{a_i-1}{a_i}=\dfrac{2019}{a_i}-1$．所以 $\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}(\dfrac{2019}{a_i}-1)\leqslant\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}[\dfrac{2018}{a_i}]\leqslant 1346$，即 $\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}\dfrac{2019}{a_i}\leqslant 1346+1009=2355$．所以 $\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}\dfrac{1}{a_i}\leqslant \dfrac{2355}{2019}<\dfrac{7}{6}$．
答案
解析
备注
