$N$ 是满足 $\left| z \right|\text{=}1\text{,}{{z}^{6\text{!}}}-{{z}^{5\text{!}}}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
440
【解析】
令 $w\text{=}{{z}^{5\text{!}}}$，则 $\left|w \right|\text{=}1\text{,Im}\left( {{w}^{6}}\text{-}w \right)\text{=}0$ 。因为 $\left|{{w}^{6}} \right|\text{=}\left| w \right|\text{=}1$，所以 $\arg{{w}^{6}}\text{=}\pi -\arg w$
或 $\arg w\text{=}\arg {{w}^{6}}$ 。于是设 $\alpha\text{=}\arg w$，有 $7\alpha \text{=}\left( 2k+1 \right)\pi \Rightarrow \alpha\text{=}\frac{\left( 2k+1 \right)}{7}\pi $ 或 $5\alpha \text{=}2k\pi \Rightarrow\alpha \text{=}\frac{2k}{5}\pi $ 。所以 $w$ 的可能值有 $7+5\text{=}12$ 个，$z$ 的可能值有 $12\cdot5\text{!=}1440$ 个，所求值为 $440$ 。
或 $\arg w\text{=}\arg {{w}^{6}}$ 。于是设 $\alpha\text{=}\arg w$，有 $7\alpha \text{=}\left( 2k+1 \right)\pi \Rightarrow \alpha\text{=}\frac{\left( 2k+1 \right)}{7}\pi $ 或 $5\alpha \text{=}2k\pi \Rightarrow\alpha \text{=}\frac{2k}{5}\pi $ 。所以 $w$ 的可能值有 $7+5\text{=}12$ 个，$z$ 的可能值有 $12\cdot5\text{!=}1440$ 个，所求值为 $440$ 。
答案
解析
备注
