求大于 $0$ 小于 $2017$ 且三进制表示下不含 $0$ 的正整数的个数
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
222
【解析】
$2\text{01}{{\text{7}}_{\text{10}}}\text{=220220}{{\text{1}}_{\text{3}}}$ 。注意到 $7$ 位三进制数中，首两位为 $\text{2}$ 且不含数字 $0$ 的一定比 $\text{201}{{\text{7}}_{\text{10}}}$ 大。在所有 $7$ 位三进制数中，不含数字 $0$ 且首两位为 $2\text{1}$ 的有 ${{2}^{\text{5}}}$ 个，不含数字 $0$ 且首 $1$ 的有 ${{\text{2}}^{\text{6}}}$ 个。不含 $0$ 的三进制数中，${{\text{2}}^{\text{6}}}$ 个 $6$ 位的，${{2}^{\text{5}}}$ 个 $5$ 位的，${{2}^{\text{4}}}$ 个 $\text{4}$ 位的，${{2}^{\text{3}}}$ 个 $3$ 位的，${{2}^{\text{2}}}$ 个 $\text{2}$ 位的，${{2}^{\text{1}}}$ 个 $1$ 位的。故所求值为 ${{\text{2}}^{\text{5}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{6}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{6}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{5}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{4}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{3}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{2}}}\text{+}{{\text{2}}^{\text{1}}}\text{=222}$
答案
解析
备注
