一副特殊的牌有 $49$ 张，共有七种颜色且每张牌上标记 $1-7$ 中的一个数字。每个数字-颜色组合恰好对应一张牌。Sharon从这副牌中随机选取一组 $8$ 张牌。已知她选出的这组牌中包含了所有数字和所有颜色，她从中随机扔掉一张后剩余七张牌还包含所有颜色和数字的概率为 $\frac{p}{q}$，其中是互质正整数。求 $p+q$
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
013
【解析】
不失一般性，我们假设Sharon的牌上的 $8$ 个数依次为 $1\text{,}1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7$，并且 $8$ 个颜色为红红和 $6$ 种任意颜色。一共有 $\left(\begin{matrix}
8 \\
2 \\
\end{matrix} \right)-1\text{=}27$ 种匹配红牌对应数字的方式。为使Sharon除去一张牌后仍有全部数字和颜色，其中一张红牌必须为 $1$，其对应情况有 $2\cdot 6=12$ 种。于是所求概率为 $\frac{12}{\left(\begin{matrix}8 \\
2 \\
\end{matrix} \right)-1}\text{=}\frac{4}{9}\Rightarrow4+9\text{=}013$
8 \\
2 \\
\end{matrix} \right)-1\text{=}27$ 种匹配红牌对应数字的方式。为使Sharon除去一张牌后仍有全部数字和颜色，其中一张红牌必须为 $1$，其对应情况有 $2\cdot 6=12$ 种。于是所求概率为 $\frac{12}{\left(\begin{matrix}8 \\
2 \\
\end{matrix} \right)-1}\text{=}\frac{4}{9}\Rightarrow4+9\text{=}013$
答案
解析
备注
