对每个满足 ${{\log }_{2}}\left( 2x+y \right)\text{=}{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+xy+7{{y}^{2}} \right)$ 的有序实数对 $\left( x\text{,}y \right)$，存在实数 $K$ 满足 ${{\log }_{3}}\left( 3x+y \right)\text{=}{{\log }_{9}}\left( 3{{x}^{2}}+4xy+K{{y}^{2}} \right)$ 。求所有可能的实数 $K$ 的乘积
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
189
【解析】
${{\log}_{2}}\left( 2x+y \right)\text{=}{{\log }_{4}}{{\left( 2x+y\right)}^{2}}\text{=}{{\log }_{4}}\left( 4{{x}^{2}}+4xy+{{y}^{2}} \right)$ 。所以 $4{{x}^{2}}+4xy+{{y}^{2}}\text{=}{{x}^{2}}+xy+7{{y}^{2}}\Rightarrow{{x}^{2}}+xy-2{{y}^{2}}\text{=}0\Rightarrow \left( x+2y \right)\left( x-y\right)\text{=}0$ 。于是 $x\text{=}y$ 或 $x\text{=}-2y$ 。 ${{\log }_{3}}\left( 3x+y\right)\text{=}{{\log }_{9}}\left( 3{{x}^{2}}+4xy+K{{y}^{2}} \right)\Rightarrow{{\log }_{9}}{{\left( 3x+y \right)}^{2}}\text{=}{{\log }_{9}}\left( 3{{x}^{2}}+4xy+K{{y}^{2}}\right)\Rightarrow 6{{x}^{2}}+2xy+\left( 1-K \right){{y}^{2}}\text{=}0$ 分别代入 $x=y,x=-2y$ 得到 $K=9\text{,}21$ 。所求值为 $9\cdot21\text{=}189$
答案
解析
备注
