求使得 $\sqrt{{{n}^{2}}+85n+2017}$ 为整数的所有 $n$ 的和
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
195
【解析】
$\sqrt{{{n}^{2}}+85n+2017}\text{=}\frac{1}{2}\sqrt{4{{n}^{2}}+340n+8068}\text{=}\frac{1}{2}\sqrt{{{\left(2n+85 \right)}^{2}}+843}$ 。设 ${{\left( 2n+85 \right)}^{2}}+843\text{=}{{s}^{2}}\Rightarrow{{s}^{2}}-{{\left( 2n+85 \right)}^{2}}\text{=}843$ 。 $\left( s-\left( 2n+85\right) \right)\left( s+\left( 2n+85 \right) \right)\text{=}1\times843\text{=}3\times 281$ 。所以 $2n+85\text{=}421\text{,}139$ 。解得 $n\text{=}168\text{,}27$ 。所求值为 $168+27\text{=}195$
答案
解析
备注
