四面体 $ABCD$ 满足 $AD=BC=28,AC=BD=44,AB=CD=52$ 。对空间中任意点 $X$，定义 $f\left( X \right)\text{=}AX+BX+CX+DX$ 。 $f\left( X \right)$ 的最小值具有形式 $m\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是正整数，$n$ 不含平方因子。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
682
【解析】
设 $M,N$ 是 $AB,CD$ 的中点。则由条件有 $\Delta ABD\cong \Delta BAC,\Delta CDA\cong\Delta DCB$ 。于是有 $MC=MD,NA=NB$ 。 $MN$ 在 $AB,CD$ 公共中垂线上。 $B,C$ 分别是 $A,D$ 关于 $MN$ 的对称点。如果 $X,{X}'$ 关于 $MN$，则 $BX=A{X}',CX=D{X}'$，所以 $f\left(X \right)=AX+A{X}'+DX+D{X}'$ 。设 $Q$ 是 $X{X}'$ 和 $MN$ 的交点。 $AX+A{X}'\ge2AQ\text{,}f\left( x \right)\geqslant 2\left( AQ+DQ \right)=f\left( Q \right)$ 。我们的目标转化为求当 $Q$ 在 $MN$ 移动时，$f\left( Q \right)$ 最小值。将 $D$ 绕轴 $MN$ 转到 $AMN$ 平面内的点 ${D}'$，且与 $A$ 在 $MN$ 异侧。 $\angle DNM\text{=}{{90}^{{}^\circ }}\text{,}{D}'N\text{=}DN$ 。 $f\left( Q\right)\text{=}2\left( AQ+{D}'Q \right)\geqslant 2A{D}'$，等号当 $Q\text{=}MN\cap A{D}'$ 取到。于是 $\min f\left( Q \right)=2A{D}'$ 。因为 $MD$ 是 $\Delta ADB$ 的中线，所以 $4M{{D}^{2}}=2A{{D}^{2}}+2B{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}=2\cdot{{28}^{2}}+2\cdot {{44}^{2}}-{{52}^{2}}\Rightarrow M{{D}^{2}}=684$ 。再由毕达哥拉斯定理，$M{{N}^{2}}=M{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}=8$ 。因为 $\angle AMN=\angle {D}'NM={{90}^{{}^\circ }}$，${{\left( A{D}' \right)}^{2}}={{\left(AM+{D}'N \right)}^{2}}+M{{N}^{2}}={{\left( 2AM\right)}^{2}}+M{{N}^{2}}={{52}^{2}}+8=4\cdot 678$ 。于是 $\min f\left( Q\right)=2A{D}'=4\sqrt{678}$ 。所求值为 $4+678=682$
答案
解析
备注
