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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20498 5c9996b1210b280b2256bfa3 高中 解答题 高中习题 16．\end{align} \right）$。对所有满足条件的$ a\text{，}b $,记$ S $为其对应的$ T\left（a\text{，}b \right）$的和。求$ S $模$ 1000$的值 2022-04-17 20:23:00
20497 5c999955210b280b2397e91e 高中 解答题 自招竞赛 一有理数 $8$ 进制下具有形式 $\underline{ab}\text{.}\underline{cd}$，其中每个数字都非零。该有理数在 $12$ 进制下具有形式 $\underline{bb}\text{.}\underline{ba}$ 。求十进制下的数 $\underline{abc}$ 2022-04-17 20:22:00
20496 5c9308de210b286d074542bd 高中 解答题 自招竞赛 半径为 $1$ 的圆盘 $\odot C$ 和半径为 $5$ 的圆盘 $\odot E$ 外切，切点为 $A$ 。固定大圆盘，小圆盘可沿大圆盘圆周滚动直到小圆盘自身旋转 ${{360}^{{}^\circ }}$ 。此时小圆盘圆心位置记为 $D$，原先的切点转至小圆盘上的 $B$ 点，有 $AC\text{,}BD$ 平行。记 ${{\sin }^{2}}\left( \angle BEA \right)\text{=}\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:21:00
20495 5c99d9e9210b280b2256bfef 高中 解答题 高中习题 设 $S={x_1,x_2,\cdots,x_n}$ 是平面上的点集，其中任意两点之间的距离至少是1，证明：最多有 $3n$ 对点，每对点的距离恰好是 $1$． 2022-04-17 20:21:00
20494 5c99e14e210b280b2397e942 高中 解答题 高中习题 国际乒乓球男女混合双打大奖赛有 $24$ 对选手参加，赛前一些选手握了手，但同一对选手之间不握手．赛后某个男选手问每个选手的握手次数，各人的回答各不相同，问这名男选手的女搭档和多少人握了手． 2022-04-17 20:20:00
20493 5c99edd7210b280b2397e94a 高中 解答题 高中习题 某俱乐部共有 $99$ 名成员，每一个成员都声称只愿意和自己认识的人一起打桥牌．已知每个成员都至少认识 $67$ 名成员．证明一定有 $4$ 名成员，他们可以在一起打桥牌？ 2022-04-17 20:20:00
20492 5c99f33d210b280b2397e988 高中 解答题 高中习题 以一些圆（圆面）覆盖平面上的给定的 $2n$ 个点，证明：若每个圆至少覆盖 $n+1$ 个点．则任意两个点能由平面上的一条折线所连结，而这条线段整个地被一些圆所覆盖． 2022-04-17 20:19:00
20491 5c99f4a1210b280b2397e991 高中 解答题 高中习题 在一次演讲中，有五名数学家每人均打两次盹，并且每两人均有同时打盹的时刻．证明：一定有三个人，他们有同时打盹的时刻． 2022-04-17 20:18:00
20490 5c99f73d210b280b2256c02f 高中 解答题 高中习题 某居民区内有 $1990$ 个居民，每天他们之中每个人都把昨天听到的消息告诉给他所有的熟人，而且任何消息都能逐渐地被全区居民所知道．证明：可以指定 $180$ 个居民，使得同时向他们指导某一消息，那么至多经过 $10$ 天，这一消息变为全区居民所知道． 2022-04-17 20:18:00
20489 5c99fd21210b280b2256c036 高中 解答题 高中习题 设在平面上有 $n$ 个给定的点，求证：其中距离为 $1$ 的点的对数不超过 $\dfrac{n}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}n^{\frac{3}{2}}$． 2022-04-17 20:17:00
20488 5c9a019d210b280b2256c03b 高中 解答题 高中习题 $S$ 为 $m$ 个正整数对 $(a,b)$ $(1\leqslant a,b\leqslant n,a\not=b)$ 所组成的集合（$(a,b)$ 与 $(b,a)$ 被认为是相同的）．证明：至少有 $\dfrac{4m}{3n}(m-\dfrac{n^2}{4})$ 个三元数组 $(a,b,c)$，适合：$(a,b),(a,c)$ 及 $(b,c)$ 都属于 $S$． 2022-04-17 20:16:00
20487 5c9a0acc210b280b2256c041 高中 解答题 高中习题 有 $n$ 位游客，其中任意 $3$ 人中必有 $2$ 人互相不认识，并且把这 $n$ 个人任意分为两组来坐公交车，至少有一辆车上有互相认识的人，证明：存在一位游客，他至多认识 $\dfrac{2}{5}n$ 位游客． 2022-04-17 20:16:00
20486 5c9a11e8210b280b2397e9a1 高中 解答题 高中习题 某天晚上，$21$ 个人之间互通电话 $n$ 次，已知其中 $m$ 个人 $a_1,a_2.\cdots,a_m$ 使得 $a_i$ 与 $a_{i+1}$ 互通了电话 $(i=1,2,\cdots,m,a_{m+1}=a_1)$，并且 $m$ 为奇数．如果在这 $21$ 个人中没有 $3$ 人互通了电话，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:15:00
20485 5c9a3a32210b280b2256c048 高中 解答题 高中习题 正整数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{2006}}$（可以有相同的）使得 $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}$，$\dfrac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}$，…，$\dfrac{{{a}_{2005}}}{{{a}_{2006}}}$ 两两不相等．问：${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{2006}}$ 中最少有多少个不同的数？ 2022-04-17 20:14:00
20484 5c9a3a8b210b280b2256c053 高中 解答题 高中习题 （1）设 $X = {1,2,…,100}$，$A$ 是 $X$ 的子集．若对 $A$ 中任何两个元素 $x,y(x < y)$，都有 $y≠3x$，求 $|A|$ 的最大值．
（2）如果一个集合不包含满足 $x + y = z$ 的三个数 $x,y,z$（可以相同）则称之为单纯的．设 $M = {1,2,…,2n+1}$，$A$ 是 $M$ 的单纯子集，求 $|A|$ 的最大值．		 2022-04-17 20:14:00
20483 5c9a3a65210b280b2256c04e 高中 解答题 高中习题 已知 $n(n≥3)$ 元集合 $A$ 的一些子集满足：每个子集至少含 $2$ 个元素，每两个不同子集的交集至多含 $2$ 个元素，记这些子集的元素个数的立方和为 $S$．问：是否存在不小于 $3$ 的正整数 $n$，使 $S$ 的最大值等于2009的方幂？说明你的理由． 2022-04-17 20:13:00
20482 5c9a3bbe210b280b2397e9b5 高中 解答题 高中习题 设 $M = {1,2,…,2005}$，$A$ 是 $M$ 的子集．若对任何 $a_i,a_j∈A$，$a_i≠a_j$，都能以 $a_i,a_j$ 为边长惟一地确定一个等腰三角形，求 $|A|$ 的最大值． 2022-04-17 20:13:00
20481 5c9a3c37210b280b2256c05b 高中 解答题 高中习题 给定正整数 $n\left( n\geqslant 2 \right)$，求最大的 $\lambda $，使得：若有 $n$ 个袋子，每一个袋子中都有一些重量为2的整数次幂的小球，且各个袋子中的小球的总重量都相等，则必有某一重量的小球的总个数至少为 $\lambda $．（同一个袋子中可以有相等重量的小球．） 2022-04-17 20:12:00
20480 5c9a3c90210b280b2256c061 高中 解答题 高中习题 对于整数 $n≥4$，求出最小的整数 $f(n)$，使得对于任何正整数 $m$，集合 $\{m,m + 1,…,m + n – 1\}$ 的任一个 $f(n)$ 元子集中，均有至少 $3$ 个两两互素的元素． 2022-04-17 20:11:00
20479 5c9a3e8d210b280b2256c069 高中 解答题 高中习题 某新建城市购进大批公共汽车，用以解决市内交通问题，计划在 $2009$ 个不同地点建立汽车站，并通过开辟若干条线路的公共汽车沟通它们，规划者的愿望是：
（1）尽可能多辟一些线路；
（2）每两条线路至少有一个公共的汽车站；
（3）每个公共汽车站至多有两条不同的线路通过．
问：照此愿望，最多可以开辟多少条线路的公共汽车？每条线路至少应经过多少个站？		 2022-04-17 20:11:00
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