$S$ 是满足条件的有序数对 $\left( a,b \right)$ 的个数，其中 $\text{0}\leqslant a\leqslant 100,b\geqslant 0$，且 ${{x}^{2}}+ax+b$ 可分解为两个整系数一次多项式的乘积。求 $S$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
600
【解析】
设因式分解结果为 $\left(x+c \right)\left( x+d \right)$，则 $c+d\text{=}a\text{,}cd\text{=}b$ 。因为 $a\text{,}b\geqslant 0$，所以 $c\text{,}d\geqslant 0$ 。对于每个 $a$ 值，若 $a\text{=}2n$，对应的 $b$ 有 $n+1$ 种选择；若 $a\text{=}2n+1$，对应的 $b$ 有 $n+1$ 种选择。所以一共有 $\displaystyle \left(\sum\limits_{i\text{=}1}^{50}{i+1} \right)+\left(\sum\limits_{i\text{=}1}^{50}{i} \right)\text{=}\frac{1}{2}\cdot 50\cdot \left(2+51 \right)+\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 51=2600=600\left( \bmod 1000 \right)$
答案
解析
备注
