$10\times 10\times 10$ 的格点网络包含了所有空间坐标系中形如 $\left( i\text{,}j\text{,}k \right)\left( 1\leqslant i\text{,}j\text{,}k\leqslant 10 \right)$ 的点。求恰好包含其中 $8$ 个点的直线的个数
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
168
【解析】
考虑不与坐标轴长成平面平行的直线，若其经过 $\left( a\text{,}b\text{,}c\right)$ 但不经过 $\left( a\pm 1\text{,}b\pm 1\text{,}c\pm 1 \right)$ 中的任意一个，则其上有只多不超过 $5$ 个格点。
1．直线与坐标轴长成的某平面平行，即直线上点的 $x\text{,}y$ 或 $z$ 坐标值相同。该类情况有 $3\cdot10\cdot 4=120$ 条。
2．直线不与坐标轴长成的平面平行，即其可能方向为立方体的 $4$ 条对角线。此类情况即求 $8\times8\times 8$ 的立方体对角线数，有 $12\cdot 4=48$ 条
故共有 $48+120\text{=}168$ 条
1．直线与坐标轴长成的某平面平行，即直线上点的 $x\text{,}y$ 或 $z$ 坐标值相同。该类情况有 $3\cdot10\cdot 4=120$ 条。
2．直线不与坐标轴长成的平面平行，即其可能方向为立方体的 $4$ 条对角线。此类情况即求 $8\times8\times 8$ 的立方体对角线数，有 $12\cdot 4=48$ 条
故共有 $48+120\text{=}168$ 条
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解析
备注
