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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20478 5c9a39c9210b280b2397e9aa 高中 解答题 高中习题 （1）可将集合 $M = {1,2,3,…,n}$ 划分为 $2$ 个子集 $A,B$，使得同一个子集中任何两个数的和都不是完全平方数，求 $n$ 的最大值．
（2）在 $6\times6$ 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色．然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有 $1$ 个是红色的．那么，总共至少要涂红多少小方格？		 2022-04-17 20:10:00
20477 5c9c2b84210b280b2397e9ce 高中 解答题 高中习题 将 $X=\{{{1}^{2}},{{2}^{2}},{{3}^{2}},\cdots ,{{10000}^{2}}\}$ 划分成两个子集 $A,B$，使 $|A|=|B|$ 且 $S(A)=S(B)$ 其中 $S(T)$ 表示集合 $T$ 中所有元素之和． 2022-04-17 20:10:00
20476 5c9c2bb6210b280b2256c07a 高中 解答题 高中习题 给定自然数 $n$，设 $X = {1,2,3,\cdots,n}$，$A_1,A_2,\cdots,A_r$ 是 $X$ 的 $r$ 个互不相交的三元子集，使得（1）$S(A_i)\leqslant n(1\leqslant i\leqslant r)$；（2）$S(A_i)\not=S(A_j)$．（其中 $S(A)$ 表示 $A$ 中所有元素的和），求 $r$ 的最大值． 2022-04-17 20:09:00
20475 5c9c2b3e210b280b2397e9c9 高中 解答题 高中习题 能否在城市中开设 $10$ 条公共汽车路线，使得其中任何 $8$ 条线路，都至少有一个车站不在其中任何一条线路上，而对任何 $9$ 条线路，则连通城市的所有车站． 2022-04-17 20:09:00
20474 5c9c2c95210b280b2397e9f0 高中 解答题 高中习题 求证：对任何非空有限集 $A$，可将 $A$ 的所有子集排成一列，使得每两个相邻的子集恰相差一个元素？ 2022-04-17 20:08:00
20473 5c9c2cc7210b280b2256c0ac 高中 解答题 高中习题 给定正整数 $n(n > 2)$，将若干个互异的正整数排在一个圆周上，使得相邻两数之积小于 $n$，问圆周上最多有多少个数？ 2022-04-17 20:08:00
20472 5c9c2d08210b280b2256c0b4 高中 解答题 高中习题 将 $1,2,\cdots,4n$ 分成 $n$ 组（每组 $4$ 个数），满足：每组中有一个数是另外三个数的算术平均数．求 $n$ 的所有可能值． 2022-04-17 20:07:00
20471 5c9c2dad210b280b2256c0bb 高中 解答题 高中习题 能否将正整数集合 ${{\mathbb{N}}_{+}}$ 分划为两个不想交的集合 $A$ 和 $B$，满足：
（1）$A$ 中任意三个数不成等差数列；
（2）不能由 $B$ 中元素组成一个非常数的无穷等差数列。		 2022-04-17 20:06:00
20470 5c9c2dd9210b280b2256c0c0 高中 解答题 高中习题 平面内任给 $2000$ 个点，证明：可以用一些圆形纸片盖住这 $ 2000 $ 个点，且满足：这些圆形纸片直径之和不超过 $ 2000 $；任意两张圆心纸片的距离大于 $ 1$． 2022-04-17 20:06:00
20469 5c987b76210b280b2397e86d 高中 解答题 自招竞赛 对 $-1<r<1$，$S\left( r \right)\text{=}12+12r+12{{r}^{2}}+12{{r}^{3}}+\cdots $ 。 $-1< a<1,S \left( a \right)S\left( -a \right)\text{=}2016$ 。求 $S\left( a \right)+S\left( -a \right)$ 2022-04-17 20:05:00
20468 5c987b7d210b280b2256bf3f 高中 解答题 自招竞赛 两个各面标记为 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6$ 的普通骰子各面比重不同，其中标记数字为 $k$ 的面的概率比重为 $k$ 。用这样一对骰子扔出数字和为 $7$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:05:00
20467 5c987b84210b280b2397e874 高中 解答题 自招竞赛 正二十面体每个面均为正三角形，每个顶点有 $5$ 个正三角形面交于此。该正二十面体如下图摆放，与最顶端顶点相邻的五个顶点构成的五棱柱的底面和与最下端顶点相邻的五个顶点构成的五棱柱的底面均与地面平行。求从顶端顶点到底部顶点的路径数，满足该路径上每一小段（即从正二十面体的一条棱）要么向下要么水平且没有经过重复顶点。 2022-04-17 20:04:00
20466 5c987b89210b280b2397e87a 高中 解答题 自招竞赛 一竖直棱柱底面为边长 $12$ 的正六边形，高为 $h$ 。该棱柱的一顶点 $A$ 与和其相邻的三个顶点构成一三棱锥。三棱锥与六棱柱底面重合的面和三棱锥不含 $A$ 的底面构成的二面角为 ${{60}^{{}^\circ }}$ 。求 ${{h}^{2}}$ 2022-04-17 20:03:00
20465 5c987b94210b280b2397e87f 高中 解答题 自招竞赛 Ann读了一本书。第一天她用 $t$ 分钟读了 $n$ 页，其中 $n\text{,}t$ 均为正整数。第二天她用 $t+1$ 分钟读了 $n+1$ 页。依次规律，每天Ann都用比前一天多一分钟的时间，所读页数也比前一天多一，直到她读完该书全部 $374$ 页。她一共花去 $319$ 分钟。求 $n+t$ 2022-04-17 20:03:00
20464 5c987b9a210b280b2256bf46 高中 解答题 自招竞赛 在 $\Delta ABC$ 中，$I$ 为其内切圆圆心，$\angle ACB$ 的角平分线交 $AB$ 于 $L$ 。过 $C,L$ 的直线交 $\Delta ABC$ 的外接圆于 $C,D$ 。如果 $LI=2,LD=3$，那么 $IC=\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 20:02:00
20463 5c987ba3210b280b2256bf4c 高中 解答题 自招竞赛 对 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,9}$ 的一重排列 $p\text{=}\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{9}} \right)$，令 $s\left( p \right)$ 为三位数 $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}},\overline{{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}\text{,}\overline{{{a}_{7}}{{a}_{8}}{{a}_{9}}}$ 之和。 $m$ 为个位数字为 $0$ 的 $s\left( p \right)$ 的最小值。 $n$ 为满足 $s\left( p \right)\text{=}m$ 的排列 $p$ 的个数。求 $\left| m-n \right|$ 2022-04-17 20:02:00
20462 5c987ba8210b280b2397e88a 高中 解答题 自招竞赛 在 $\Delta ABC$ 中，$AB\text{=}40,AC=31,sinA\text{=}\frac{1}{5}$ 。该三角形内接于矩形 $AQRS$，并且 $B$ 在 $QR$ 上，$C$ 在 $RS$ 上。求矩形 $AQRS$ 面积的最大值 2022-04-17 20:01:00
20461 5c987bad210b280b2256bf52 高中 解答题 自招竞赛 严格单增的数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}},{{a}_{3}}\text{,}\cdots $ 满足对每个正整数 $k$，其子列 ${{a}_{2k\text{-}1}}\text{,}{{a}_{2k}}\text{,}{{a}_{2k+1}}$ 构成等比数列，其子列 ${{a}_{2k}}\text{,}{{a}_{2k+1}}\text{,}{{a}_{2k+2}}$ 构成等差数列。假设 ${{a}_{13}}\text{=}2016$，求 ${{a}_{1}}$ 2022-04-17 20:01:00
20460 5c987bb2210b280b2397e890 高中 解答题 自招竞赛 非零多项式 $P\left( x \right)$ 满足对任意实数 $x$，$\left( x-1 \right)P\left( x+1 \right)\text{=}\left( x+2 \right)P\left( x \right)$ 且 ${{\left( P\left( 2 \right) \right)}^{2}}\text{=}P\left( 3 \right)$ 。那么 $P\left( \frac{7}{2} \right)=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:01:00
20459 5c987bb9210b280b2256bf58 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $m$，使得 ${{m}^{2}}-m+11$ 是至少四个质数（可以相同）的乘积 2022-04-17 20:00:00
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