${{T}_{1}},{{T}_{2}}\text{,}{{T}_{3}}\text{,}{{T}_{4}}$ 都是决赛的种子选手。在半决赛中 ${{T}_{1}}\text{,}{{T}_{4}}$ 进行比赛，${{T}_{2}}\text{,}{{T}_{3}}$ 进行比赛。两场比赛的胜者将在决赛中对战决出胜者。 ${{T}_{i}}\text{,}{{T}_{j}}$ 进行比赛时，${{T}_{i}}$ 赢得比赛的概率为 $\frac{i}{i+j}$，每场比赛的结果都是相互独立的。 ${{T}_{4}}$ 最终夺冠的概率为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 是互质正整数。求 $p+q$
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
781
【解析】
${{T}_{4}}$ 取得冠军有两种情况：一种为 ${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{1}}$，${{T}_{3}}$ 胜 ${{T}_{2}}$，${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{3}}$；另一种为 ${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{1}}$，${{T}_{2}}$ 胜 ${{T}_{3}}$，${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{2}}$ 。第一种情况下，${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{1}}$ 的概率为 $\frac{4}{4+1}\text{=}\frac{4}{5}$，${{T}_{3}}$ 胜 ${{T}_{2}}$ 的概率为 $\frac{3}{3+2}\text{=}\frac{3}{5}$，${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{3}}$ 的概率为 $\frac{4}{4+3}\text{=}\frac{4}{7}$ 。故第一种情况的概率为 $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{7}$ 。第二种情况下，${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{1}}$ 的概率为 $\frac{4}{4+1}\text{=}\frac{4}{5}$，${{T}_{2}}$ 胜 ${{T}_{3}}$ 的概率为 $\frac{3}{3+2}\text{=}\frac{3}{5}$，${{T}_{4}}$ 胜 ${{T}_{2}}$ 的概率为 $\frac{4}{4+2}\text{=}\frac{2}{3}$ 。故第二种情况的概率为 $\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}$ 。所以 ${{T}_{4}}$ 取得冠军的概率为 $\frac{256}{525}$，所求值为 $256+525\text{=}781$
答案
解析
备注
