对任意整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$，$f\left( n \right)$ 为正 $n$ 边形顶点构成集合的三元子集数，使得以其元素为顶点的三角形是等腰三角形（或等边三角形）。求满足 $f\left( n+1 \right)\text{=}f\left( n \right)+78$ 的所有 $n$ 的和
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
245
【解析】
根据 $n\left( \bmod 6 \right)$，我们可以得到：$n$ 是 $2\text{,}3$ 的倍数，$f\left( n \right)\text{=}\frac{n\left( n-4 \right)}{2}+\frac{n}{3}$；$n$ 是 $2$ 的倍数但不是 $3$ 的倍数，$f\left( n \right)\text{=}\frac{n\left( n-2 \right)}{2}$；$n$ 不是 $2$ 的倍数但是 $3$ 的倍数，$f\left(n \right)\text{=}\frac{n\left( n-3 \right)}{2}+\frac{n}{3}$；$n$ 不是 $2$ 的倍数也不是 $3$ 的倍数，$f\left( n \right)\text{=}\frac{n\left( n-1 \right)}{2}$ 。分别考虑 $n\equiv0\text{,}1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\left( \bmod 6 \right)$ 并解 $f\left(n+1 \right)\text{=}f\left( n \right)+78$ 可得到 $n\text{=}36\text{,}52\text{,}157$ 。所以所求值为 $36+52+157\text{=}245$
答案
解析
备注
