$n$ 在 $14$ 进制下具有形式 $\underline{abc}$，在 $15$ 进制下有形式 $\underline{acb}$，在 $6$ 进制下可写作 $\underline{acac}$，其中 $a\text{}0$ 。求 $10$ 进制下的 $n$
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
925
【解析】
根据条件 $n\text{=}196a+14b+c\text{,}n\text{=}225a+15c+b\text{,}n\text{=}216a+36c+6a+c\text{=}222a+37c$ 。于是 $\left\{\begin{matrix}
\left( 225a+15c+b \right)-\left( 196a+14b+c \right)\text{=}0 \\
\left(225a+15c+b \right)-\left( 222a+37c \right)\text{=}0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}29a-13b+14c\text{=}0 \\
3a+b-22c\text{=}0 \\
\end{matrix} \right.$ 。解得 $\left\{ \begin{matrix}b\text{=}10c \\
a\text{=}4c \\
\end{matrix}\right.$ 。 由条件易知 $c\text{=}1\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}a\text{=}4 \\
b\text{=}10 \\
c\text{=}1 \\
\end{matrix}\right.\Rightarrow n\text{=}222a+37c\text{=}888+37\text{=}925$
\left( 225a+15c+b \right)-\left( 196a+14b+c \right)\text{=}0 \\
\left(225a+15c+b \right)-\left( 222a+37c \right)\text{=}0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}29a-13b+14c\text{=}0 \\
3a+b-22c\text{=}0 \\
\end{matrix} \right.$ 。解得 $\left\{ \begin{matrix}b\text{=}10c \\
a\text{=}4c \\
\end{matrix}\right.$ 。 由条件易知 $c\text{=}1\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}a\text{=}4 \\
b\text{=}10 \\
c\text{=}1 \\
\end{matrix}\right.\Rightarrow n\text{=}222a+37c\text{=}888+37\text{=}925$
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