求小于 $2017$ 的正整数 $n$ 的个数使得 $1+n+\frac{{{n}^{2}}}{2\text{!}}+\frac{{{n}^{3}}}{3\text{!}}+\frac{{{n}^{4}}}{4\text{!}}+\frac{{{n}^{5}}}{5\text{!}}+\frac{{{n}^{6}}}{6\text{!}}$ 是整数
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
134
【解析】
原式后 $5$ 项之和为 $\frac{1}{720}\left({{n}^{6}}+6{{n}^{5}}+30{{n}^{4}}+120{{n}^{3}}+360{{n}^{2}} \right)$ 。于是 ${{n}^{6}}+6{{n}^{5}}+30{{n}^{4}}+120{{n}^{3}}+360{{n}^{2}}\text{=}720m\text{,}\left(m\in {{\mathbb{N}}_{4}} \right)$ 。所以 ${{n}^{6}}\equiv0\left( \bmod 2 \right)\Rightarrow n\text{=}2a$ 。代入后等式左侧变为 $64{{a}^{6}}+192{{a}^{5}}+480{{a}^{4}}+960{{a}^{3}}+1440{{a}^{2}}$，其系数为 $16$ 的倍数。等式左右模 $3$ 得到 ${{n}^{6}}\equiv0\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow n\text{=}3b$ 。代入得到 $729{{b}^{6}}+1458{{b}^{5}}+2430{{b}^{4}}+3240{{b}^{3}}+3240{{b}^{2}}$，其系数为 $9$ 的倍数。等式左右模 $5$ 得到 ${{n}^{6}}+{{n}^{5}}\equiv0\left( \bmod 5 \right)\Rightarrow n\equiv 0\left( \bmod 5\right)\text{,}n\equiv 4\left( \bmod 5 \right)$ 。于是 $n\equiv0\left( \bmod 2 \right)\text{,}n\equiv 0\left( \bmod 3 \right)\text{,}n\equiv0\text{,}4\left( \bmod 5 \right)$ 。由中国剩余定理，$n\equiv0\text{,24}\left( \bmod 30 \right)$ 。所以满足条件的一共有 $\frac{2010}{30}\times2\text{=}134$
答案
解析
备注
