一个集合含有四个数。集合元素两两之和为 $189\text{,}320\text{,}287\text{,}234\text{,}x\text{,}y$ 。求 $x+y$ 的最大值
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
791
【解析】
设四个数分别为 $a,b,c,d$，$a\text{}b\text{}c\text{}d$ 。欲使 $x+y$ 最大，令 $x\text{=}a+b\text{,}y\text{=}a+c$，则 $x+y\text{=}2a+b+c$ 。注意到 $2a+b+c\text{=}3\left( a+b+c+d \right)-\left( a+2b+2c+3d\right)\text{=}3\left( \left( a+c \right)+\left( b+d \right) \right)-\left(\left( a+d \right)+\left( b+c \right)+\left( b+d \right)+\left( c+d \right)\right)$ 无论 $189\text{,}320\text{,}287\text{,}234$ 和 $a+d\text{,}b+c\text{,}b+d\text{,}c+d$ 之间如何匹配，$\left( a+d \right)+\left( b+c \right)+\left( b+d \right)+\left( c+d\right)\text{=}189+320+287+234$ 为常值。故我们只需要求 $\left( a+c \right)+\left( b+d\right)$ 的最大值。因为 $\left( a+c \right)+\left( b+d \right)\text{=}\left( a+d\right)+\left( b+c \right)$，所以其最大值为 $320+287\text{=}607$ 。所以 $x+y\text{=}3\left(320+287 \right)-\left( 189+320+287+234 \right)\text{=}791$
答案
解析
备注
