求区间 $\left[ -500\text{,}500 \right]$ 上的整数 $k$ 的个数，使得方程 $\log \left( kx \right)\text{=}2\log \left( x+2 \right)$ 有且仅有 $1$ 个根
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
501
【解析】
$\log \left( kx \right)\text{=}2\log\left( x+2 \right)$ 蕴含 $kx\text{}0\text{,}x\text{}-2$ 。方程等价于 $kx\text{=}{{\left(x+2 \right)}^{2}}\left( x\text{}-2 \right)$ 。由图像可知我们只需求出过原点的斜率为正的切线，对应斜率为 $k\text{=}8$ 。则使得方程恰有一个解的 $k$ 的范围为 $\left\{8 \right\}\cup \left( -\infty \text{,}0 \right)$ 。所以满足条件的 $k$ 有 $500+1\text{=}501$ 个
答案
解析
备注
