1983年第1届美国数学邀请赛（AIME）

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  复数

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  复数的运算

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我们已知 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=7$ 和 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=10$，因为要求出 $x+y$ 而不是 $x$ 或 $y$，我们把上面的方程改写为 $\left\{\begin{align}
& {{\left(x+y \right)}^{2}}-2xy=7 \\
& {{\left(x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)=10. \\
\end{align} \right.$（1-1）
这进一步提示我们设 $S=x+y$，$p=xy$．（1-2）
把（1-2）代入（1-1），得到 $\left\{\begin{align}
& {{S}^{2}}-2p=7 \\
& {{S}^{3}}-3pS=10. \\
\end{align}\right.$（1-3）
从前一方程中解出 $p$，代入后一方程，得到
${{S}^{3}}-3S\left(\frac{{{S}^{2}}-7}{2} \right)=10\Leftrightarrow {{S}^{3}}-21S+20=0$．（1-4）
显然，$S=1$ 是这个方程的一个根．左端除以 $S-1$，可以得到如下的因式分解式
$\left( S-1\right)\left( {{S}^{2}}+S-20 \right)=0$，由此又得 $\left( S-1\right)\left( S-4 \right)\left( S+5 \right)=0$．
可见 $S=x+y$ 的值都是实数，最大的是4．
以上的推理中有一个跳跃．（1-1）的任何解经过替换当然是（1-4）的解，但是我们必须说明（1-4）的最在实根也是这样得来的（而不是增根）．我们更进一步说明（1-4）的每一个根都是这样得来的．这个逆命题不是自动成立的，因为方程组不是线性的．
任给一个满足式（1-4）的 $S$，令 $p=\frac{{{S}^{2}}-7}{2}$，那么 $\left(1-4 \right)\Rightarrow \left( 1-3 \right)$．其次，对于这一对 $\left( S,p \right)$，必然存在一对 $\left( x, y \right)$ 满足（1-2），就是 ${{z}^{2}}-Sz+p=0$ 的两根（可能是复数）．最后，把（1-2）代入（1-3），就回到了（1-1），即存在（1-1）的一组解 $\left(x y \right)$ 使 $x+y=z$．