证明下列组合恒等式
（1）$C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n}=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}={{2}^{n}}$
（1）$C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n}=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}={{2}^{n}}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）对 $n$ 用数学归纳法。 $n=1$ 时显然成立。
假设 $n$ 的时候等式成立，
即：$C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n}=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$
当 $n+1$ 时，
$(C_{n+1}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n+1}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n+1}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1})-(C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n})$
$=(C_{n+1}^{1}-C_{n}^{1})-\dfrac{1}{2}(C_{n+1}^{2}-C_{n}^{2})+\dfrac{1}{3}(C_{n+1}^{3}-C_{n}^{3})-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}(C_{n+1}^{n}-C_{n}^{n})+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1}$
$=C_{n}^{0}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{2}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n-1}+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1}$
$=1-\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{2}+\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n+1}C_{n+1}^{n}+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1}$
$=\dfrac{1}{n+1}$
所以结论对 $n+1$ 时成立。
（2）$n$ 用数学归纳法。 $n=1$ 时显然成立。
假设 $n$ 的时候等式成立，
即：$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}={{2}^{n}}$
当 $n+1$ 时，
$\displaystyle \begin{align}
& \sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}-\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}\\
& =\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}(C_{n+1+k}^{n+1}-C_{n+k}^{n})}+\dfrac{1}{{{2}^{n}}}C_{2n+1}^{n+1}{{2}^{n}}\\
& =\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n+1}}+\dfrac{1}{{{2}^{n+1}}}C_{2n+1}^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n+1}}\\
& =\sum\limits_{k=\text{1}}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n+1}}\\
& \text{=}\sum\limits_{k=\text{0}}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k\text{+1}}}}C_{n+k\text{+1}}^{n+1}}\text{=}\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}\\
\end{align}$
所以 $\displaystyle \dfrac{\text{1}}{\text{2}}\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}\text{=}{{\text{2}}^{n}}$
即 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}={{2}^{n\text{+1}}}$
归纳成立
假设 $n$ 的时候等式成立，
即：$C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n}=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$
当 $n+1$ 时，
$(C_{n+1}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n+1}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n+1}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1})-(C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n})$
$=(C_{n+1}^{1}-C_{n}^{1})-\dfrac{1}{2}(C_{n+1}^{2}-C_{n}^{2})+\dfrac{1}{3}(C_{n+1}^{3}-C_{n}^{3})-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}(C_{n+1}^{n}-C_{n}^{n})+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1}$
$=C_{n}^{0}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{2}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n-1}+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1}$
$=1-\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{2}+\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n+1}C_{n+1}^{n}+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n+\text{1}}^{n+1}$
$=\dfrac{1}{n+1}$
所以结论对 $n+1$ 时成立。
（2）$n$ 用数学归纳法。 $n=1$ 时显然成立。
假设 $n$ 的时候等式成立，
即：$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}={{2}^{n}}$
当 $n+1$ 时，
$\displaystyle \begin{align}
& \sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}-\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}\\
& =\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}(C_{n+1+k}^{n+1}-C_{n+k}^{n})}+\dfrac{1}{{{2}^{n}}}C_{2n+1}^{n+1}{{2}^{n}}\\
& =\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n+1}}+\dfrac{1}{{{2}^{n+1}}}C_{2n+1}^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n+1}}\\
& =\sum\limits_{k=\text{1}}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n+1}}\\
& \text{=}\sum\limits_{k=\text{0}}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k\text{+1}}}}C_{n+k\text{+1}}^{n+1}}\text{=}\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}\\
\end{align}$
所以 $\displaystyle \dfrac{\text{1}}{\text{2}}\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}\text{=}{{\text{2}}^{n}}$
即 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n+1}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+1+k}^{n\text{+1}}}={{2}^{n\text{+1}}}$
归纳成立
答案
解析
备注
