数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}}\text{,}\cdots $ 满足 $\displaystyle {{a}_{n}}\text{=}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\sin k}$，其中 $k$ 是弧度制下的值。求第 $100$ 个满足 ${{a}_{n}}\text{}0$ 的下标
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
628
【解析】
如果 $n\text{=}1$，${{a}_{n}}\text{=}\sin \left( 1 \right)\text{}0$ 。那么若有 ${{a}_{n}}\text{}0\left(n\geqslant 2 \right)$ 且 $\displaystyle {{a}_{n}}\text{=}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\sin \left( k\right)\text{=}\frac{1}{\sin 1}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\sin \left( 1\right)\sin \left( k \right)\text{=}\frac{1}{\sin1}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\cos \left( k-1 \right)-\cos \left( k+1\right)\text{=}\frac{1}{\sin 1}\left[ \cos \left( 0 \right)+\cos \left( 1\right)-\cos \left( n \right)-\cos \left( n+1 \right) \right]}}}$ 因为 $\sin1\text{}0$，所以不影响 ${{a}_{n}}$ 的符号。令 ${{b}_{n}}\text{=}\cos\left( 0 \right)+\cos \left( 1 \right)-\cos \left( n \right)-\cos \left( n+1\right)$ 。因为 $\cos\left( 0 \right)+\cos \left( 1 \right)\text{=}2\cos \left( \frac{1}{2}\right)\cos \left( \frac{1}{2} \right)\text{,}\cos \left( n \right)+\cos \left(n+1 \right)\text{=}2\cos \left( n+\frac{1}{2} \right)\cos \left( \frac{1}{w}\right)$，所以当且仅当 $\cos \left( \frac{1}{2} \right)\text{}\cos \left( n+\frac{1}{2}\right)$ 即 $n\in \left[ 2k\pi -1\text{,}2k\pi \right]$ 时，${{b}_{n}}\text{}0$ 。故第一百项为 $k\text{=}100$，$n\text{=}\left[200\pi \right]\text{=}628$
答案
解析
备注
