$a\text{,}b$ 为正整数且满足 $\frac{ab+1}{a+b}\text{}\frac{3}{2}$ 。 $\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}+1}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}$ 的最大值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质的正整数。求 $p+q$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
036
【解析】
记 $N\text{=}\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}+1}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}$ 。因为 $a\text{,}b\text{}0$，$\frac{ab+1}{a+b}\text{}\frac{3}{2}\Rightarrow 2ab+2\text{}3a+3b\Rightarrow2ab-3a\text{}3b-2\Rightarrow a\text{}\frac{3b-2}{2b-3}$ 。注意到 $a\text{,}b$ 若有至少一个是 $1$，则 $N\text{=}1$ 。故我们只考虑 $a\text{,}b\ge2$ 的情况。则 $\frac{3b-2}{2b-3}\text{}a\geqslant 2\Rightarrow\frac{3b-2}{2b-3}\text{}2\Rightarrow 3b-2\text{}4b-6\Rightarrow b\text{}4$ 。当 $b\text{=}3$ 时，$a\text{}\frac{7}{3}$，所以 $a\text{=}2$ 。代入得到 $N\text{=}\frac{{{2}^{3}}\cdot{{3}^{3}}+1}{{{2}^{3}}+{{3}^{3}}}\text{=}\frac{217}{35}\text{=}\frac{31}{5}$ 。当 $b\text{=}2$ 时，$a\text{}\frac{3b-2}{2b-3}\text{=}4$ 。代入 $b\text{=}2\text{,}a\text{=}3$ 得到 $N\text{=}\frac{31}{5}$；代入 $b\text{=}2\text{,}a\text{=}2$ 得到 $N\text{=}\frac{65}{16}$ 。比较得到 $N$ 最大值为 $\frac{31}{5}$ 。故所求值为 $036$
答案
解析
备注
