证明下列组合恒等式
（1）$C_{n}^{m}C_{m}^{m}+C_{n}^{m+1}C_{m+1}^{m}+C_{n}^{m+2}C_{m+2}^{m}+...+C_{n}^{n}C_{n}^{m}={{2}^{n-m}}\centerdot C_{n}^{m}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}C_{k}^{m}}=\left\{ \begin{matrix}
{{(-1)}^{n}} & m=n \\
0 & m<n \\
\end{matrix} \right.$
（3）$C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}$
（1）$C_{n}^{m}C_{m}^{m}+C_{n}^{m+1}C_{m+1}^{m}+C_{n}^{m+2}C_{m+2}^{m}+...+C_{n}^{n}C_{n}^{m}={{2}^{n-m}}\centerdot C_{n}^{m}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}C_{k}^{m}}=\left\{ \begin{matrix}
{{(-1)}^{n}} & m=n \\
0 & m<n \\
\end{matrix} \right.$
（3）$C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由于 $C_{n}^{k}C_{k}^{m}=C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}$
$C_{n}^{m}C_{m}^{m}+C_{n}^{m+1}C_{m+1}^{m}+C_{n}^{m+2}C_{m+2}^{m}+...+C_{n}^{n}C_{n}^{m}$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=m}^{n}{C_{n}^{k}C_{k}^{m}}$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=m}^{n}{C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}}=C_{n}^{m}\sum\limits_{k=m}^{n}{C_{n-m}^{n-k}}={{2}^{n-m}}\centerdotC_{n}^{m}$
（2）由于 $C_{n}^{k}C_{k}^{m}=C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}$
$\displaystyle \begin{align}
&\sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}C_{k}^{m}} \\
& =\sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}}\\
&=C_{n}^{m}\sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n-m}^{n-k}}=\left\{\begin{matrix}
{{(-1)}^{n}} &m=n \\
0 &m<n \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}$
（3）由于 $C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$
$C_{n+k+1}^{n+1}-(C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k}^{n})$
$=(C_{n+k+1}^{n+1}-C_{n+k}^{n})-(C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k-1}^{n})$
$=C_{n+k}^{n+1}-(C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k-1}^{n})$
$=\cdots =0$
$C_{n}^{m}C_{m}^{m}+C_{n}^{m+1}C_{m+1}^{m}+C_{n}^{m+2}C_{m+2}^{m}+...+C_{n}^{n}C_{n}^{m}$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=m}^{n}{C_{n}^{k}C_{k}^{m}}$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=m}^{n}{C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}}=C_{n}^{m}\sum\limits_{k=m}^{n}{C_{n-m}^{n-k}}={{2}^{n-m}}\centerdotC_{n}^{m}$
（2）由于 $C_{n}^{k}C_{k}^{m}=C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}$
$\displaystyle \begin{align}
&\sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}C_{k}^{m}} \\
& =\sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{m}C_{n-m}^{n-k}}\\
&=C_{n}^{m}\sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n-m}^{n-k}}=\left\{\begin{matrix}
{{(-1)}^{n}} &m=n \\
0 &m<n \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}$
（3）由于 $C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$
$C_{n+k+1}^{n+1}-(C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k}^{n})$
$=(C_{n+k+1}^{n+1}-C_{n+k}^{n})-(C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k-1}^{n})$
$=C_{n+k}^{n+1}-(C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k-1}^{n})$
$=\cdots =0$
答案
解析
备注
