Steve对Jon说：“我想到一个所有根都是正整数的多项式。该多项式形如 $P\left( x \right)\text{=}2{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+\left( {{a}^{2}}-81 \right)x-c$，其中 $a\text{,}c$ 是正整数。你能求出 $a\text{,}c$ 的值么？”Jon计算了一段时间后回复道，“满足条件的多项式不唯一。”Steve说：“你说的没错，这个是 $a$ 的值，”他给Jon写下一个正整数，“现在你能说出 $c$ 的值了吗？”Jon说：“现在 $c$ 还是有两种可能。”求 $c$ 的两种可能值之和。
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
440
【解析】
设三个根分别为 ${{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}{{x}_{3}}$ 。由韦达定理，${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}\text{=}a\text{,}{{x}_{1}}\cdot{{x}_{2}}+{{x}_{2}}\cdot {{x}_{3}}+{{x}_{3}}\cdot{{x}_{1}}\text{=}\frac{{{a}^{2}}-81}{2}\text{,}{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot{{x}_{3}}\text{=}\frac{c}{2}$ 。平方第一个等式得到 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2\left({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}+{{x}_{2}}\cdot {{x}_{3}}+{{x}_{3}}\cdot {{x}_{1}}\right)\text{=}{{a}^{2}}$，于是有 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\text{=}81$ 。所有满足该等式的正整数解为 $\left(1\text{,}4\text{,}8 \right)\text{,}\left( 3\text{,}6\text{,}6\right)\text{,}\left( 4\text{,}4\text{,}7 \right)$，对应 $a$ 的值分别为 $13\text{,}15\text{,}15$，对应 $c$ 的值分别为 $64\text{,}216\text{,}224$ 。因为Jon在得到 $a$ 值之后仍有两种可能的 $c$，故 $a\text{=}15$，所求值为 $216+224\text{=}440$
答案
解析
备注
