证明下列组合恒等式
（1）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r}{C_{n}^{k}C_{m}^{r-k}}=C_{m+n}^{r}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=C_{2n}^{n}$
（3）$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=nC_{2n-1}^{n-1}$
（1）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r}{C_{n}^{k}C_{m}^{r-k}}=C_{m+n}^{r}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=C_{2n}^{n}$
（3）$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=nC_{2n-1}^{n-1}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）考虑多项式 ${{(1+x)}^{m+n}}$ 展开式中 ${{x}^{r}}$ 的系数，由二项式定理，其系数为 $C_{m+n}^{r}$ 。
另一方面，${{(1+x)}^{m+n}}={{(1+x)}^{m}}\cdot{{(1+x)}^{n}}$ 其中 ${{x}^{r}}$ 系数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r}{C_{n}^{k}C_{m}^{r-k}}$，所以左右两边相等。
（2）令（1）中 $m=n,r=n$，再利用 $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ 即得。
（3）由 $kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$ 和（1）的结论可知
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{nC_{n-1}^{k-1}C_{n}^{k}}=n\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n-1}^{k-1}C_{n}^{k}}=nC_{2n-1}^{n-1}$
另一方面，${{(1+x)}^{m+n}}={{(1+x)}^{m}}\cdot{{(1+x)}^{n}}$ 其中 ${{x}^{r}}$ 系数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r}{C_{n}^{k}C_{m}^{r-k}}$，所以左右两边相等。
（2）令（1）中 $m=n,r=n$，再利用 $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ 即得。
（3）由 $kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$ 和（1）的结论可知
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{nC_{n-1}^{k-1}C_{n}^{k}}=n\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n-1}^{k-1}C_{n}^{k}}=nC_{2n-1}^{n-1}$
答案
解析
备注
