$x\text{,}y$ 为实数，满足 ${{x}^{4}}{{y}^{5}}+{{y}^{4}}{{x}^{5}}\text{=}810\text{,}{{x}^{3}}{{y}^{6}}+{{y}^{3}}{{x}^{6}}\text{=}945$ 。求 $2{{x}^{3}}+{{\left( xy \right)}^{3}}+2{{y}^{3}}$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
089
【解析】
$\frac{{{x}^{4}}{{y}^{4}}\left(x+y \right)}{{{x}^{3}}{{y}^{3}}\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}\right)}\text{=}\frac{810}{945}\Rightarrow\frac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}{xy}\text{=}\frac{945}{810}$ 。等式左右两侧同时加 $3$ 得到 $\frac{{{\left(x+y \right)}^{2}}}{xy}\text{=}\frac{25}{6}$ 。则有 $\frac{5\sqrt{6}}{6}{{\left( xy\right)}^{\frac{9}{2}}}\text{=}810$ 。解得 $xy\text{=}3\sqrt[3]{2}\Rightarrow{{x}^{3}}{{y}^{3}}\text{=}54$ 。于是 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\text{=}\frac{945}{54}\text{=}\frac{35}{2}$ 。所以 $2\left({{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)+{{x}^{3}}{{y}^{3}}\text{=2}\times\frac{35}{2}+54\text{=}089$
答案
解析
备注
