$\Delta ABC$ 中，$AB=12,BC=25,CA=17$ 。矩形 $PQRS$ 的顶点 $P$ 在 $AB$ 上，$Q$ 在 $AC$ 上，$R,S$ 在 $BC$ 上。 $PQ=w$，则矩形 $PQRS$ 的面积有 $Area\left( PQSR \right)=\alpha w-\beta \cdot {{w}^{2}}$ 。系数 $\beta \text{=}\frac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
161
【解析】
如果 $\omega\text{=}25$，$PQRS$ 面积为 $0$ 。于是 $\alpha \omega -\beta {{\omega}^{2}}\text{=}25\alpha -625\beta \text{=}0\text{,}\alpha \text{=25}\beta $ 。如果 $\omega\text{=}\frac{25}{2}$，作 $APQ$ 关于轴 $PQ$ 的对称、$PBS$ 关于轴 $PS$ 的对称变换和 $QCR$ 关于轴 $QR$ 的对称变换，则可将 $PQRS$ 完全覆盖，所以 $PQRS$ 的面积为三角形的一半。由海伦公式，$s\text{=}\frac{12+17+25}{2}\text{=}27$，$\left[ ABC\right]\text{=}\sqrt{27\cdot 15\cdot 10\cdot 2}\text{=}90$ 。于是 $45\text{=}\alpha\omega -\beta {{\omega }^{2}}\text{=}\frac{625}{2}\beta -\beta\frac{625}{4}\text{=}\beta \frac{625}{4}\Rightarrow \beta\text{=}\frac{180}{625}\text{=}\frac{36}{125}$ 。所求值为s $36+125\text{=}161$
答案
解析
备注
