称 $\text{1}\text{2}\cdots \text{,}n$ 的一个排列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots {{a}_{k}}$ 是类上升的如果 ${{a}_{k}}\leqslant {{a}_{k+1}}+2\left( 1\leqslant k\leqslant n-1 \right)$ 。例如 $54321$ 和 $14253$ 都是 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5$ 的类上升排列，但 $45123$ 不是。求 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7$ 的类上升排列数
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
486
【解析】
向 $1\text{,}2\text{,}\cdots\text{,}n-1$ 的某个排列中插入 $n$，根据题意其可能的位置为 $n-1$ 前，$n-2$ 前或者最末尾。故满足条件的 $n$ 元素的排列个数是满足条件的 $n-1$ 元素排列个数的 $3$ 倍。 $n\text{=}3$ 时，排列数为 $6$，故 $n\text{=}7$ 时，排列数为 $6*{{3}^{4}}\text{=}486$ 。
答案
解析
备注
