$\Delta ABC$ 的外接圆圆心 $O$ 。经过 $O$ 的垂直于 $OB$ 的直线交 $AB,BC$ 于 $P,Q$ 。 $AB=5,BC=4,BQ=4.5,BP=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质的正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
023
【解析】
过 $O$ 作 $BC,AB$ 的垂线，垂足分别为 $M,N$ 。设 $OB=r$ 。易知 $\Delta OMB\tilde{ }\Delta QOB$ 。于是有 $\frac{MB}{BO}=\frac{BO}{BQ}$，$MB=r\left(\frac{r}{4.5} \right)\text{=}\frac{{{r}^{2}}}{4.5}$ 。因为 $MB=\frac{1}{2}CB=2$，所以 $r\text{=}3$ 。又因为 $BN=\frac{5}{2},\Delta BOP\tilde{ }\Delta BNO$，所以 $\frac{BP}{3}=\frac{3}{\frac{5}{2}}\Rightarrow BP=\frac{18}{5}m+n\text{=}023$
答案
解析
备注
