求出满足条件 $\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{4}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{n}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ 的正整数 $n$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
47
【解析】
由两角和的正切公式可得 $\tan \left( \arctan x+\arctan y\right)=\frac{x+y}{1-xy}$．
因此有 $\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy}$，$0xt1$，由此可得
$\arctan\frac{1}{3}\arctan \frac{1}{4}+\arctan \frac{1}{5}=\arctan \frac{7}{11}+\arctan\frac{1}{5}=\arctan \frac{23}{24}$．
故
$\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\arctan \frac{23}{24}+\arctan \frac{1}{n}=\arctan\frac{23n+24}{24n-23}$，
即 $\frac{23n+24}{24n-23}=1$，因此 $n=47$．
因此有 $\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy}$，$0xt1$，由此可得
$\arctan\frac{1}{3}\arctan \frac{1}{4}+\arctan \frac{1}{5}=\arctan \frac{7}{11}+\arctan\frac{1}{5}=\arctan \frac{23}{24}$．
故
$\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\arctan \frac{23}{24}+\arctan \frac{1}{n}=\arctan\frac{23n+24}{24n-23}$，
即 $\frac{23n+24}{24n-23}=1$，因此 $n=47$．
答案
解析
备注
