试求有以下性质的有序三元数组 $\left( a ,b ,c \right)$ 的个数，其中 $a$，$b$，$c$ 是正整数，$a$ 是 $b$，$c$ 的因数，且 $a+b+c=100$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
200
【解析】
对于任意有序三元数组 $\left( a,b,c \right)$，因为 $a$ 是 $b+c$ 的因数，故它也是 $100$ 的因数，因此 $a$ 为 $\left\{ 1,2,4,5,10,20,25 \right\}$ 中的一个元素，且 $\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$ 为正整数，$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=\frac{100}{a}-1$（注意到若 $a=50$ 或 $100$ 时，$b$，$c$ 中至少有一个数为 $0$）。因为 $\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$ 为正整数，那么当 $a$ 取定后，有 $\frac{100}{a}-2$ 对符合条件的 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{c}{a}$ 。因此，有
$\frac{100}{1}+\frac{100}{2}+\frac{100}{4}+\frac{100}{5}+\frac{100}{10}+\frac{100}{20}+\frac{100}{25}-2\cdot7=214-14=200$
个这样的数组。
$\frac{100}{1}+\frac{100}{2}+\frac{100}{4}+\frac{100}{5}+\frac{100}{10}+\frac{100}{20}+\frac{100}{25}-2\cdot7=214-14=200$
个这样的数组。
答案
解析
备注
