数列 ${{x}_{0}}$，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…为递增的等比数列，且每一项都是 $3$ 的整数次幂，已知
$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{7}{\log \left( {{x}_{n}} \right)}=308$，$\displaystyle 56\leqslant {{\log }_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)\leqslant 57$，
试求 ${{\log }_{3}}\left( {{x}_{14}} \right)$ 。
$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{7}{\log \left( {{x}_{n}} \right)}=308$，$\displaystyle 56\leqslant {{\log }_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)\leqslant 57$，
试求 ${{\log }_{3}}\left( {{x}_{14}} \right)$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
91
【解析】
因为 ${{x}_{0}}$，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ …是等比数列，所以必存在数 $a$，$r$ 使得 ${{x}_{n}}=a{{r}^{n}}$，即
$\displaystyle 308=\sum\limits_{n=0}^{7}{{{\log}_{3}}{{x}_{n}}}=\sum\limits_{n=0}^{7}{{{\log }_{3}}\left( a{{r}^{n}}\right)}=\sum\limits_{n=0}^{7}{\left[ {{\log }_{3}}a+n{{\log }_{3}}r \right]}$
$\displaystyle =8{{\log }_{3}}a+\left(\sum\limits_{n=0}^{7}{n} \right){{\log }_{3}}r=8{{\log }_{3}}a+28{{\log}_{3}}r$ 。
因此，$2{{\log}_{3}}a+7{{\log }_{3}}r=77$ 。另一方面，
$\displaystyle {{\log}_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)={{\log }_{3}}\left(\sum\limits_{n=0}^{7}{a{{r}^{n}}} \right)={{\log }_{3}}\left( a\cdot\frac{{{r}^{8}}-1}{r-1} \right)={{\log }_{3}}\left( a{{r}^{7}}\cdot\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}} \right)$
$={{\log}_{3}}a+7{{\log }_{3}}r+1o{{\text{g}}_{3}}\left(\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}} \right)$ 。
在 $56$ 和 $57$ 之间。
因为数列的每一项都是 $3$ 的整数次幂，所以 $a$，$r$ 也是 $3$ 的整数次幂，又因为数列是递增等比数列，所以 $r$ 最小为 $3$ 。因此
$1=\frac{1-\frac{1}{r}}{1-\frac{1}{r}}\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}3$ 。
$0{{\log }_{3}}\left(\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}} \right)1$ 。
又因为 $a$，$r$ 是 $3$ 的整数次幂，${{\log }_{3}}a+7{{\log}_{3}}r$ 为整数，因此它一定等于 $56$ 。即 ${{\log }_{3}}a+7{{\log}_{3}}r=56$ 。解方程 ${{\log}_{3}}a+7{{\log }_{3}}r=56$ 和 $2{{\log }_{3}}a+7{{\log }_{3}}r=77$ 。即 ${{\log }_{3}}a=21$，${{\log }_{3}}r=5$ 。
因此，
${{\log}_{3}}{{x}_{14}}={{\log }_{3}}\left( a{{r}^{14}} \right)={{\log}_{3}}a+14{{\log }_{3}}r=21+14\cdot 5=91$ 。
$\displaystyle 308=\sum\limits_{n=0}^{7}{{{\log}_{3}}{{x}_{n}}}=\sum\limits_{n=0}^{7}{{{\log }_{3}}\left( a{{r}^{n}}\right)}=\sum\limits_{n=0}^{7}{\left[ {{\log }_{3}}a+n{{\log }_{3}}r \right]}$
$\displaystyle =8{{\log }_{3}}a+\left(\sum\limits_{n=0}^{7}{n} \right){{\log }_{3}}r=8{{\log }_{3}}a+28{{\log}_{3}}r$ 。
因此，$2{{\log}_{3}}a+7{{\log }_{3}}r=77$ 。另一方面，
$\displaystyle {{\log}_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)={{\log }_{3}}\left(\sum\limits_{n=0}^{7}{a{{r}^{n}}} \right)={{\log }_{3}}\left( a\cdot\frac{{{r}^{8}}-1}{r-1} \right)={{\log }_{3}}\left( a{{r}^{7}}\cdot\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}} \right)$
$={{\log}_{3}}a+7{{\log }_{3}}r+1o{{\text{g}}_{3}}\left(\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}} \right)$ 。
在 $56$ 和 $57$ 之间。
因为数列的每一项都是 $3$ 的整数次幂，所以 $a$，$r$ 也是 $3$ 的整数次幂，又因为数列是递增等比数列，所以 $r$ 最小为 $3$ 。因此
$1=\frac{1-\frac{1}{r}}{1-\frac{1}{r}}\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}3$ 。
$0{{\log }_{3}}\left(\frac{1-\frac{1}{{{r}^{8}}}}{1-\frac{1}{r}} \right)1$ 。
又因为 $a$，$r$ 是 $3$ 的整数次幂，${{\log }_{3}}a+7{{\log}_{3}}r$ 为整数，因此它一定等于 $56$ 。即 ${{\log }_{3}}a+7{{\log}_{3}}r=56$ 。解方程 ${{\log}_{3}}a+7{{\log }_{3}}r=56$ 和 $2{{\log }_{3}}a+7{{\log }_{3}}r=77$ 。即 ${{\log }_{3}}a=21$，${{\log }_{3}}r=5$ 。
因此，
${{\log}_{3}}{{x}_{14}}={{\log }_{3}}\left( a{{r}^{14}} \right)={{\log}_{3}}a+14{{\log }_{3}}r=21+14\cdot 5=91$ 。
答案
解析
备注
