设 ${{S}_{i}}$ 是满足条件 $100i\leqslant n100\left( i+1 \right)$ 的所有整数 $n$ 的集合，如 ${{S}_{4}}=\left\{ 400 ,401 ,\ldots ,499 \right\}$．
在集合 ${{S}_{0}}$，${{S}_{1}}$，…，${{S}_{999}}$ 中有多少个不包含完全平方数？
在集合 ${{S}_{0}}$，${{S}_{1}}$，…，${{S}_{999}}$ 中有多少个不包含完全平方数？
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
708
【解析】
对于 $0\leqslant i\leqslant 24$，有
$\sqrt{100\left(i+1 \right)-1}-\sqrt{100i}=\frac{99}{\sqrt{100\left( i+1\right)-1}+\sqrt{100i}}$
$\geqslant\frac{99}{\sqrt{2499}+\sqrt{2400}}+\frac{99}{50+49}=1$．
因此对于 $0\leqslant i\leqslant 24$，${{S}_{i}}$ 中必然存在完全平方数．而对于 $i\geqslant 25$，由于
$\sqrt{100\left(i+1 \right)-1}-\sqrt{100i}=\frac{99}{\sqrt{100\left( i+1\right)-1}+\sqrt{100i}}$
$\leqslant\frac{99}{\sqrt{2599}+\sqrt{2500}}\frac{99}{50+50}1$．
故 ${{S}_{i}}$ 中最多存在一个完全平方数．注意到 ${{S}_{25}}$ 中最小的数为2500，且 $2500={{50}^{2}}$，而 ${{S}_{999}}$ 中的最大数为99999，且 ${{316}^{2}}<99999<{{317}^{2}}$ 因此 ${{S}_{25}}$，${{S}_{26}}$，$\cdots$，${{S}_{999}}$ 中共有 $316-50+1=267$ 个完全平方数，故有 $\left( 999-25+1 \right)-267=708$ 个集合不包含完全平方数．
$\sqrt{100\left(i+1 \right)-1}-\sqrt{100i}=\frac{99}{\sqrt{100\left( i+1\right)-1}+\sqrt{100i}}$
$\geqslant\frac{99}{\sqrt{2499}+\sqrt{2400}}+\frac{99}{50+49}=1$．
因此对于 $0\leqslant i\leqslant 24$，${{S}_{i}}$ 中必然存在完全平方数．而对于 $i\geqslant 25$，由于
$\sqrt{100\left(i+1 \right)-1}-\sqrt{100i}=\frac{99}{\sqrt{100\left( i+1\right)-1}+\sqrt{100i}}$
$\leqslant\frac{99}{\sqrt{2599}+\sqrt{2500}}\frac{99}{50+50}1$．
故 ${{S}_{i}}$ 中最多存在一个完全平方数．注意到 ${{S}_{25}}$ 中最小的数为2500，且 $2500={{50}^{2}}$，而 ${{S}_{999}}$ 中的最大数为99999，且 ${{316}^{2}}<99999<{{317}^{2}}$ 因此 ${{S}_{25}}$，${{S}_{26}}$，$\cdots$，${{S}_{999}}$ 中共有 $316-50+1=267$ 个完全平方数，故有 $\left( 999-25+1 \right)-267=708$ 个集合不包含完全平方数．
答案
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备注
