某数学学会发行一套纪念牌，每块纪念牌上包含由 $5$ 个符号组成的数列，这 $5$ 个符号选自AIME中的字母和 $2007$ 中的数码，且同一个符号在数列中出现的次数不超过它在“$\text{AIME}2007$”中出现的次数。这套纪念牌共包含 $N$ 块，每种可能出现的数列恰出现一次。试求 $\frac{N}{10}$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
372
【解析】
从 $\text{A}$，$\text{I}$，$\text{M}$，$\text{E}$，$2$，0，$7$ 中选出 $5$ 个组成数列。若数列中不超过一个 $0$，那么共有 $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=2520$ 种可能的数列；若数列中包含两个 $0$，那么 $0$ 的位置共有 $C_{5}^{2}$ 种方法，其他符号有 $C_{6}^{3}$ 种选择方法，这 $3$ 个符号共 $3!=6$ 种排列方法，即总共有 $10\cdot 20\cdot 6=1200$ 种可能的数列。因此 $N=2520+1200=3720$，$\frac{N}{10}=372$ 。
答案
解析
备注
