对于实数 $x$，令 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。对于某个整数 $k$，恰有 $70$ 个能被 $k$ 整除的正整数 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$，…，${{n}_{70}}$，使得 $k=\left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{1}}} \right\rfloor =\left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{2}}} \right\rfloor =\ldots \left\lfloor {}^{3}\sqrt{{{n}_{70}}} \right\rfloor $ 。求 $\frac{{{n}_{i}}}{k}$ 的最大值 $\left( 1\leqslant i\leqslant 70 \right)$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
553
【解析】
因为 $k\leqslant {}^{3}\sqrt{{{n}_{i}}}\leqslant k+1$，即 ${{k}^{3}}\leqslant {{n}_{i}}\leqslant{{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1$，又因为 $k$ 整除 ${{n}_{i}}$，所以 ${{n}_{i}}$ 存在 $3k+4$ 个取值，分别是 ${{k}^{3}}$，${{k}^{3}}+k$，…，${{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k$ 。因此 $3k+4=70$，$k=22$ 。那么最大值为 $\frac{{{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k}{k}={{k}^{2}}+3k+3=553$ 。
答案
解析
备注
