设 $f\left( x \right)$ 为实系数多项式 $f\left( 0 \right)=1 ,f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)=125$，且对于任意 $x$，都有 $f\left( x \right)f\left( 2{{x}^{2}} \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+x \right)$ 。试求 $f\left( 5 \right)$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
676
【解析】
若 $f\left( x \right)$ 的首项为 $a{{x}^{m}}$，那么 $f\left( x \right)f\left(2{{x}^{2}} \right)$ 的首项为 $a{{x}^{m}}\cdot a{{\left( 2{{x}^{2}}\right)}^{m}}={{2}^{m}}{{a}^{2}}{{x}^{3m}}f\left( 2{{x}^{3}}+x \right)$ 的首项为 ${{2}^{m}}a{{x}^{3m}}$，因此 ${{2}^{m}}{{a}^{2}}={{2}^{m}}a$，即 $a=1$ 。因为 $f\left( 0 \right)=1$，那么 $f\left( x \right)$ 所有根的乘积为 $\pm 1$ 。若 $f\left( \lambda \right)=0$，那么 $f\left( 2{{\lambda}^{3}}+\lambda \right)=0$ 。假设存在一个根 $\lambda $ 使得 $\left| \lambda \right|\ne 1$，那么必然存在一个根 ${{\lambda }_{1}}$ 使得 $\left| {{\lambda }_{1}}\right|>1$，那么 $\left|2{{\lambda }^{3}}+\lambda \right|\ge2{{\left| 2\lambda \right|}^{3}}-\left|\lambda \right|>2\left| \lambda \right|-\left| \lambda \right|=\left| \lambda \right|$ 。但是由 ${{\lambda }_{k+1}}=2\lambda _{k}^{3}+{{\lambda}_{k}}$，其中 $k\ge1f\left( x \right)$ 可能存在无穷多个根，因此对这个多项式所有的根都有 $\left| {{\lambda }_{{}}}\right|=1$ 。因次 $\lambda\overline{\lambda }=1$，$\left( 2{{\lambda }^{3}}+\lambda \right)\cdot \overline{\left( 2{{\lambda}^{3}}+\lambda \right)}=1$，$\lambda =a+bi$，解两个方程，得 $a=0$，${{b}^{2}}=1$，${{\lambda }^{2}}=-1$ 。因为这个多项式的系数为实数，那么这个多项式可以表示为 $f\left( x \right)={{\left(1+{{x}^{2}} \right)}^{n}}$，其中 $n\geqslant 1$ 且为整数。由 $f\left( 2 \right)+f\left( 3\right)=125$，得到 $n=2$，因此 $f\left( 5 \right)=676$ 。
答案
解析
备注
