圆锥的底面圆半径为 $R$，高为 $h$．把此圆锥的侧面平放于桌面，并使它沿着桌面无滑动地滚动．当圆锥再次回到起点位置时正好滚动17周，这时圆锥的底面边沿在桌面上划过一个以圆锥顶点为圆心的圆．比值 $\frac{h}{r}$ 能写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数且 $n$ 不能被任何质量的平方整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
14
【解析】
这个圆锥的母线长为 $\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$，这是圆锥在桌面上滚动后轨迹圆的半径，这个圆的周长为 $\text{2}\!\!\pi\!\!\text{ }\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$，而圆锥底面圆的周长为 $2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }r$，由条件得
$17\cdot2\pi r=2\pi \sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$，即 $17=\frac{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{r}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(\frac{h}{r} \right)}^{2}}}$ 。
故
$\frac{\text{h}}{r}=\sqrt{{{17}^{2}}-1}=12\sqrt{2}$．
因此 $m+n=14$ 。
$17\cdot2\pi r=2\pi \sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$，即 $17=\frac{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{r}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(\frac{h}{r} \right)}^{2}}}$ 。
故
$\frac{\text{h}}{r}=\sqrt{{{17}^{2}}-1}=12\sqrt{2}$．
因此 $m+n=14$ 。
答案
解析
备注
