一张矩形纸片长 $4$ 个单元宽 $5$ 个单位。在纸片上画了若干条与边长平行的直线，由这些直线的交点组成的满足下面两个条件的矩形称为单位矩形：
（1）该矩形的四条边都是直线相交所截的线段；
（2）该矩形的内部没有其他线段。
已知所画直线在纸片上的总长度为 $2007$ 个单位，设 $N$ 为得到单位矩形数目的最大值，试求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。
（1）该矩形的四条边都是直线相交所截的线段；
（2）该矩形的内部没有其他线段。
已知所画直线在纸片上的总长度为 $2007$ 个单位，设 $N$ 为得到单位矩形数目的最大值，试求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
896
【解析】
设纸片上长为 $4$ 个单位的线段数量为 $h$，长为 $5$ 个单位的线段数量为 $v$，那么 $4h+5v=2007$ 。每对长为 $4$ 个单位的相邻的线段和每对长为 $5$ 个单位的相邻的线段組成一个单位矩形。因此单位矩形共有 $B=\left( h-1 \right)\left(v-1 \right)$ 个。设 $x=h-1$，$y=v-1$，化简得 $B=xy$，且 $4x+5y=1998$，其中 $x$，$y$ 为整数。由第二个方程得 $y=1998-4\left( x+y \right)$，故 $y$ 被 $4$ 除余 $2$ 。设 $y=4k+2$，其中 $k$ 是非负整数，代入 $4x+5y=1998$ 可得 $x=497-5k$ 。因此
$B=xy=\left(497-5k \right)\left( 4k+2 \right)=-20{{k}^{2}}+1978k+994$
$=-20{{\left(k-\frac{989}{20} \right)}^{2}}+994+\frac{{{989}^{2}}}{20}$ 。
因此当 $k$ 最接近 $\frac{989}{20}=49$ 。 $45$ 时 $B$ 取到最大值，此时 $k=49$，$B=252\cdot 198=49896$，故所求余数为 $896$ 。
$B=xy=\left(497-5k \right)\left( 4k+2 \right)=-20{{k}^{2}}+1978k+994$
$=-20{{\left(k-\frac{989}{20} \right)}^{2}}+994+\frac{{{989}^{2}}}{20}$ 。
因此当 $k$ 最接近 $\frac{989}{20}=49$ 。 $45$ 时 $B$ 取到最大值，此时 $k=49$，$B=252\cdot 198=49896$，故所求余数为 $896$ 。
答案
解析
备注
