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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20758 5c75f0e6210b284290fc2485 高中 解答题 自招竞赛 试求一共有多少个有序正整数对 $\left( a,b \right)$ 使得 $a+b=\text{1}000$，并且 $a$ 和 $b$ 的十进制表达式中均不出现数字0？ 2022-04-17 20:44:02
20757 5c75f0ef210b284290fc248b 高中 解答题 自招竞赛 如图所示将多个全等的正三角形涂上6种颜色，每种颜色的三角形都有很多个。现将四个正三角形拼成一个大的正三角形，能得到多少种不同的大正三角形？（若将大三角形经过旋转或翻转、对称与另一大三角形颜色完全一致，则算同一种。） 2022-04-17 20:44:02
20756 5c75f0fa210b28428f14ccd5 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}} {{C}_{2}} {{C}_{3}}$ 的圆心分别为 $\left( 0 ,0 \right) \left( 12 ,0 \right) \left( 24, 0 \right)$，它们的半径分别为 $1 ,2, 4$ 。直线 ${{t}_{1}}$ 是圆 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的斜率为正的内公切线，直线 ${{t}_{2}}$ 是圆 ${{C}_{2}}$ 和 ${{C}_{3}}$ 的斜率为负的内公切线，设直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 交于点 $\left( x,y \right)$，且 $x=q-p\sqrt{r}$，其中 $p ,q ,r$ 为正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:43:02
20755 5c75f103210b28428f14ccdb 高中 解答题 自招竞赛 有七支球队进行足球锦标赛，每一个球队与其他各球队都恰比赛一场。每场球赛都分出胜负，每两队之间胜负的概率都是50%，没有平局，胜者得1分，负者得0分。各场球赛的结果都是互相独立的，以各队得分的总和排定各队的名次。若锦标赛第一轮 $A$ 队胜了 $B$ 队，则比赛结束后、$A$ 队积分比 $B$ 队高的概率 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:43:02
20754 5c75f10c210b28428f14cce0 高中 解答题 自招竞赛 某个数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 定义如下：${{a}_{1}}={{a}_{2}}={{a}_{3}}\text{=}1$，对宇任意的正整数 $n$，有 ${{a}_{n+3}}={{a}_{n+2}}+{{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}$ 。现已知 ${{a}_{28}}=6090307 {{a}_{29}}=11201821 {{a}_{30}}=20603361$，试求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{28}{{{a}_{k}}}$ 除以1000的余数。 2022-04-17 20:42:02
20753 5c75f117210b28428f14cce5 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\vartriangle ABC$ 的外接圆半径为2。延长 $AB$ 到 $D$，使得 $AD=13$，延长 $AC$ 到 $E$，使得 $AE=11$ 。过 $D$ 作 $\vartriangle ABC$ 的平行线 ${{l}_{1}}$，过 $E$ 作 $AD$ 的平行线 ${{l}_{2}}$ 。设 $F$ 是 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 的交点，直线 $AF$ 交 $\vartriangle ABC$ 的外接圆于另一点 $G$ 。若 $\vartriangle CGB$ 的面积可以表示为 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p q r$ 为正整数，$p$ 与 $r$ 互素，且 $q$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:42:02
20752 5c75f11f210b28428f14ccea 高中 解答题 自招竞赛 有多少个小于1000的正整数 $N$ 恰好可以写成5种不同的连续 $j$ 个正奇数的和的形式（其中 $j\geqslant 1$）？ 2022-04-17 20:41:02
20751 5c75f126210b284290fc2495 高中 解答题 自招竞赛 记 $S$ 。为从1到 ${{10}^{n}}$ 中所有整数中各个非零数字的倒数和，试求使得 ${{S}_{n}}$ 是整数的最小正整数 $n$ 。 2022-04-17 20:41:02
20750 5c75f12c210b28428f14ccf0 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x y z$ 满足
$x=\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{16}}+\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{16}}$，
$y\text{=}\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{25}}+\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{25}}$，
$z=\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{36}}+\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{36}}$ 。
记 $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$，其中 $m n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n$ 得值。		 2022-04-17 20:41:02
20749 5c75f994210b28428f14ccfd 高中 解答题 自招竞赛 在小于 ${{10}^{6}}$ 的正完全平方数中，有多少个是24的倍数？ 2022-04-17 20:40:02
20748 5c75f99d210b284290fc24a6 高中 解答题 自招竞赛 一条100英尺长的自动扶梯以每秒6英尺的恒定速度移动，$\text{A1}$ 移动到扶梯的起点并站立在扶梯上不动，$\text{Bob}$ 在两秒后到达扶梯的起点，并在扶梯上以每秒 $4$ 英尺的速度向扶梯的前进方向匀速前进，再过两秒钟后，$\text{Cy}$ 到达扶梯的起点，并在扶梯旁边以每秒 $8$ 英尺的速度向扶梯的前进方向匀速前进。在某一时刻，这三人中有一人恰在其他两人所处位置的中点上，求这时中间的那个人离扶梯起点处的距离。 2022-04-17 20:40:02
20747 5c75f9ab210b28428f14cd04 高中 解答题 自招竞赛 三颗行星围绕着同一颗恒星公转，它们的轨迹在同一平面上，且都是圆心在此恒星上的圆周，它们公转的方向相同，公转的周期分别为 $60$，$84$ 和 $140$ 年，现在这三颗行星和这颗恒星在同一条直线上，它们下一次共线是在 $n$ 年之后，求 $n$ 。 2022-04-17 20:39:02
20746 5c75f9b3210b28428f14cd0a 高中 解答题 自招竞赛 华氏温度 $F$ 和摄氏温度 $C$ 之间的换算公式为 $C=\frac{5}{9}\left( F-32 \right)$ 。对于一个整数度的华氏温度，先将其换算为摄氏温度，并近似到最近的整数温度，然后再换算为华氏温度，再近似到最近的整数温度。试问有多少满足 $32\leqslant T\leqslant 1000$ 的华氏温度 $T$ 经过这个变换后得到的温度还等于它本身？ 2022-04-17 20:38:02
20745 5c75f9bb210b28428f14cd0f 高中 解答题 自招竞赛 数轴的原点处有一点青蛙，它可以按照以下规则移动：每一次，青蛙或者跳到比其所在位置大的最小的 $3$ 的倍数处，或者跳到比其所在位置大的最小的13的倍数处。一个移动序列是指从 $0$ 跳到 $39$ 的一种移动方式中，青蛙所经过的各点坐标形成的序列。例如，$0$，$3$，$6$，$13$，$15$，$26$，$39$ 是一个移动序列。求青蛙可能形成的所有移动序列的个数。 2022-04-17 20:38:02
20744 5c75f9c4210b28428f14cd14 高中 解答题 自招竞赛 令
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{1000}{{}}k\left( \left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)$
求 $N$ 被1000除的余数。（这里 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示不大于 $x$ 的最大整数，而 $\left\lceil x \right\rceil $ 表示不小于 $x$ 的最小整数。）		 2022-04-17 20:37:02
20743 5c75f9e7210b28428f14cd1b 高中 解答题 自招竞赛 在直角三角形从 $ABC$ 中，$\angle C$ 是直角，$CA=30$，$CB=16$ 。三角形外两点 ${{O}_{1}}$，${{O}_{2}}$ 分别是两个相切的等圆的圆心。以 ${{O}_{1}}$ 为圆心的圆与三角形斜边及直角边 $CA$ 的延长线（越过 $A$ 的方向）相切，以 ${{O}_{2}}$ 为圆心的圆与三角形斜边及直角 $CB$ 的延长线（越过 $B$ 的方向）相切，这两个圆的半径可以表示为 $\frac{p}{q}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:37:02
20742 5c75f9f0210b28428f14cd21 高中 解答题 自招竞赛 将下面的 $6\times 4$ 方格表（如图）里 $24$ 个格子中的 $12$ 个涂上阴影，使得每一行恰有两个涂了阴影的方格，每一列恰有三个涂了阴影的方格。设 $N$ 是满足这样要求的涂阴影的方法数，求 $N$ 被1000除所有的余数。 2022-04-17 20:36:02
20741 5c75fa00210b284290fc24ba 高中 解答题 自招竞赛 在等腰三角形 $ABC$ 中，点 $A$ 是直角坐标系的原点，点 $B$ 的坐标为 $\left( 20 ,0 \right)$，点 $C$ 在第一象限，且满足 $AC=BC$ 及 $\angle BAC={{75}^{\circ }}$ 。将这个三角形以 $A$ 为旋转中心逆时针旋转，直到 $C$ 点落到 $y$ 轴正半轴上为止。若此时的三角形与原三角形的公共面积为 $p\sqrt{2}+q\sqrt{3}+r\sqrt{6}+s$，其中 $p$，$q$，$r$，$s$ 是整数，求 $\frac{p-q+r-s}{2}$ 的值。 2022-04-17 20:36:02
20740 5c75fa11210b284290fc24c1 高中 解答题 自招竞赛 定义数列 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 如下：${{a}_{1}}=3$，${{a}_{2}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时，${{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=a_{n}^{2}+2007$ 。求小于等于 $\frac{a_{2007}^{2}a_{2006}^{2}}{{{a}_{2007}}{{a}_{2006}}}$ 的最大整数。 2022-04-17 20:35:02
20739 5c75fa19210b284290fc24c6 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABC$ 是一个等边三角形，$D$ 和 $F$ 分别是 $BC$ 和 $AB$ 上的点，并满足以 $FA=5$ 及 $CD=2$，点 $E$ 在边 $CA$ 以上，且满足 $\angle DEF={{60}^{\circ }}$ 。已知三角形 $DEF$ 的面积为 $14\sqrt{3}$ 。若边 $AB$ 长的两个可能值为 $p\pm q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$ 是有理数，$r$ 是一个不被任何素数的平方整除的整数。求 $r$ 。 2022-04-17 20:35:02
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