已知存在唯一的正整数对（$x$，$y$）满足方程 ${{x}^{2}}+84x+2008={{y}^{2}}$，求 $x+y$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
80
【解析】
由 $x$ 为正整数可得
${{\left(x+42 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+84x+1764{{x}^{2}}+84x+2008{{x}^{2}}+90x+2025={{\left(x+45 \right)}^{2}}$．
又因为 ${{x}^{2}}+84x+2008$ 为一个平方数，故它仅可能为 ${{\left( x+43 \right)}^{2}}$ 或 ${{\left( x+44 \right)}^{2}}$．
当 ${{x}^{2}}+84x+2008={{\left(x+43 \right)}^{2}}$ 时，可得 $2x=159$（不合题意）．
当 ${{x}^{2}}+84x+2008={{\left(x+44 \right)}^{2}}$ 时，可得 $x=18$，这时 $y=x+44=62$，即 $x+y=18+62=80$．
${{\left(x+42 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+84x+1764{{x}^{2}}+84x+2008{{x}^{2}}+90x+2025={{\left(x+45 \right)}^{2}}$．
又因为 ${{x}^{2}}+84x+2008$ 为一个平方数，故它仅可能为 ${{\left( x+43 \right)}^{2}}$ 或 ${{\left( x+44 \right)}^{2}}$．
当 ${{x}^{2}}+84x+2008={{\left(x+43 \right)}^{2}}$ 时，可得 $2x=159$（不合题意）．
当 ${{x}^{2}}+84x+2008={{\left(x+44 \right)}^{2}}$ 时，可得 $x=18$，这时 $y=x+44=62$，即 $x+y=18+62=80$．
答案
解析
备注
